Para as funções abaixo calcule, caso exista, as derivadas parciais, nos pontos indicados:
(25.1) f(x, y)=x cos (xy+pi) ; P0(0,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis: $ f(x, y) = x \cos\left(\frac{x}{y} + \pi\right) $. O exercício pede para calcular as derivadas parciais dessa função no ponto $ P_0(0, 1) $. Isso significa que precisamos encontrar como a função muda em relação a $ x $ e a $ y $ quando a gente está nesse ponto específico. Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação para funções de várias variáveis, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Isso significa que vamos derivar $ f $ considerando $ y $ como uma constante.
A função é:
f
Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $. Aqui, $ u = x $ e $ v = \cos\left(\frac{x}{y} + \pi\right) $.
Derivando $ u $:
x
Agora, derivando $ v $ em relação a $ x $. Usamos a regra da cadeia:
partial fpartial x
Colocando tudo junto:
f

Passo 3

Agora, vamos avaliar $ \frac{\partial f}{\partial x} $ no ponto $ P_0(0, 1) $, ou seja, com $ x = 0 $ e $ y = 1 $.
Substituindo os valores:
partial fpartial x
Simplificando:
P0(0, 1)

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Dessa vez, derivamos $ f $ mantendo $ x $ constante.
A função novamente é:
f
Aqui, $ x $ é constante, então usamos a regra da cadeia para derivar a parte dentro do cosseno.
Derivando em relação a $ y $:
y
Simplificando:
partial fpartial y

Passo 5

Vamos agora avaliar $ \frac{\partial f}{\partial y} $ no ponto $ P_0(0, 1) $, com $ x = 0 $ e $ y = 1 $.
Substituindo os valores:
partial fpartial y

Resposta

As derivadas parciais no ponto $ P_{0}(0,1) $ são:
P0(0,1)

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