Verificar a identidade proposta para cada função dada:
(26.1)
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(26.1)
Passo 1
Então, galera! A gente tem um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. A função que vamos analisar é $ z = x y^{3} - x^{3} y $. A gente precisa verificar se a identidade $ y \frac{\partial z}{\partial x} + x \frac{\partial z}{\partial y} = y^{4} - x^{4} $ é verdadeira. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $ e depois substituir na identidade para verificar se tudo confere.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, que é $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Lembre-se que, ao derivar em relação a $ x $, tratamos $ y $ como uma constante. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, que é $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Aqui, tratamos $ x $ como uma constante:
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, vamos substituir na identidade dada:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão:
Passo 6
Observamos que os termos $ -3x^{2} y^{2} $ e $ +3x^{2} y^{2} $ se cancelam:
Resposta
A identidade é verdadeira: $ y \frac{\partial z}{\partial x} + x \frac{\partial z}{\partial y} = y^{4} - x^{4} $.