Verificar a identidade proposta para cada função dada:
(26.1) z=x y^3-x^3 y;
y partial zpartial x+x partial zpartial y=y^4-x^4.

Passo 1

Então, galera! A gente tem um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. A função que vamos analisar é $ z = x y^{3} - x^{3} y $. A gente precisa verificar se a identidade $ y \frac{\partial z}{\partial x} + x \frac{\partial z}{\partial y} = y^{4} - x^{4} $ é verdadeira. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $ e depois substituir na identidade para verificar se tudo confere.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, que é $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Lembre-se que, ao derivar em relação a $ x $, tratamos $ y $ como uma constante. Então:
z

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, que é $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Aqui, tratamos $ x $ como uma constante:
z

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, vamos substituir na identidade dada:
y partial zpartial x + x partial zpartial y = y (y^3 - 3x^2 y) + x (3x y^2 - x^3)

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:
= y cdot y^3 - y cdot 3x^2 y + x cdot 3x y^2 - x cdot x^3
= y^4 - 3x^2 y^2 + 3x^2 y^2 - x^4

Passo 6

Observamos que os termos $ -3x^{2} y^{2} $ e $ +3x^{2} y^{2} $ se cancelam:
-3x^2 y^2

Resposta

A identidade é verdadeira: $ y \frac{\partial z}{\partial x} + x \frac{\partial z}{\partial y} = y^{4} - x^{4} $.

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