Esboce o mapa de contorno das seguintes funções:
Passo 1
Estamos vendo o enunciado: “Esboce o mapa de contorno da função f(x,y)=8−x²+4y²”. O conteúdo é curvas de nível de uma função de duas variáveis e vamos usar a definição f(x,y)=k para obter cônicas e analisar sua forma.
Passo 2
Igualando f(x,y) a um valor constante k, obtemos a equação da curva de nível:
Reescrevendo em forma de cônica, isolamos os termos quadráticos:
Multiplicando por -1:
Passo 3
Agora classificamos conforme o sinal de 8−k:
Para , temos
e a forma padrão
Para
que é uma hipérbole abrindo ao longo do eixo x.
Passo 4
Para
, obtemos
um par de retas passando pela origem.
Passo 5
Para
, temos
e invertendo os sinais surge
uma hipérbole abrindo ao longo do eixo y.
Passo 6
Para esboçar, basta escolher valores típicos de k, como k=0,4,8,12,16, e desenhar cada hipérbole ou par de retas de acordo com os casos acima.
Resposta
As curvas de nível de f são hipérboles dadas por x²−4y²=8−k. Para k<8 elas abrem ao longo do eixo x, para k=8 tornam-se as retas x=±2y e para k>8 abrem ao longo do eixo y. Escolhendo valores como k=0,4,8,12,16 obtém-se o esboço completo do mapa de contorno.