Esboce o mapa de contorno das seguintes funções:
f(x, y)=8-x^2+4 y^2

Passo 1

Estamos vendo o enunciado: “Esboce o mapa de contorno da função f(x,y)=8−x²+4y²”. O conteúdo é curvas de nível de uma função de duas variáveis e vamos usar a definição f(x,y)=k para obter cônicas e analisar sua forma.

Passo 2

Igualando f(x,y) a um valor constante k, obtemos a equação da curva de nível:
8 - x^2 + 4y^2 = k
Reescrevendo em forma de cônica, isolamos os termos quadráticos:
-x^2 + 4y^2 = k - 8
Multiplicando por -1:
x^2 - 4y^2 = 8 - k

Passo 3

Agora classificamos conforme o sinal de 8−k:
Para k<8, temos 8 - k>0 e a forma padrão
x^28-k - y^2(8-k)/4 = 1
que é uma hipérbole abrindo ao longo do eixo x.

Passo 4

Para k=8, obtemos
x^2 - 4y^2 = 0 Long<=ftrightarrow x=pm2y
um par de retas passando pela origem.

Passo 5

Para k>8, temos 8 - k<0 e invertendo os sinais surge
y^2(k-8)/4 - x^2k-8 = 1
uma hipérbole abrindo ao longo do eixo y.

Passo 6

Para esboçar, basta escolher valores típicos de k, como k=0,4,8,12,16, e desenhar cada hipérbole ou par de retas de acordo com os casos acima.

Resposta

As curvas de nível de f são hipérboles dadas por x²−4y²=8−k. Para k<8 elas abrem ao longo do eixo x, para k=8 tornam-se as retas x=±2y e para k>8 abrem ao longo do eixo y. Escolhendo valores como k=0,4,8,12,16 obtém-se o esboço completo do mapa de contorno.

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