Nas funções f abaixo, calcule f^prime e f^prime prime, se existirem. f(x)=27^-73+e^xx^2

Passo 1

A função dada é
f(x)=27^-73+e^xx^2
Esse exercício cai em conteúdo de derivadas: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, a derivada de constante é zero, e para e^xx^2 podemos usar a interpretação como produto e^xcdot x^-2. Note que a função só está definida (e derivável) para xneq0.

Passo 2

Para achar f'(x), derivamos termo a termo. A derivada de 27^-73 é zero. Para dfrace^xx^2=e^x,x^-2, aplicamos a regra do produto:
ddx(e^x,x^-2)=e^x,x^-2+e^x,(-2)x^-3=e^xl(x^-2-2x^-3r)=e^xx-2x^3
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$$f’(x)=ex\frac{x-2}{x3}.
$$

Passo 3

Para f''(x), note que
$$f’(x)=e^x,g(x),\quad g(x)=\frac{x-2}{x^3}.
f'(x)=e^x,g(x), g(x)=x-2x^3 f’’(x)=ex,g(x)+ex,g’(x)=e^x\bigl(g(x)+g’(x)\bigr).
f''(x)=e^x,g(x)+e^x,g'(x)=e^xl(g(x)+g'(x)r) g’(x)=\frac{d}{dx}\bigl((x-2)x{-3}\bigr)=x{-3}-3(x-2)x{-4}=\frac{6-2x}{x4}.
g'(x)=ddxl((x-2)x^-3r)=x^-3-3(x-2)x^-4=6-2xx^4 g(x)+g’(x)=\frac{x-2}{x3}+\frac{6-2x}{x4}=\frac{x2-4x+6}{x4}.
g(x)+g'(x)=x-2x^3+6-2xx^4=x^2-4x+6x^4 f’’(x)=ex\frac{x2-4x+6}{x^4}.
$$

Resposta

f'(x)=e^xdfracx-2x^3, f''(x)=e^xdfracx^2-4x+6x^4

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