Nas funções f abaixo, calcule f^prime e f^prime prime, se existirem. f(x)=e^x^2 sen(x+1)

Passo 1

Temos a função f(x) = e^x^2sin(x+1). O conteúdo é diferencial de uma função obtida pelo produto de duas funções, então vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para encontrar f' e f''.

Passo 2

Para calcular f'(x), identificamos as duas partes: u(x)=e^x^2 e v(x)=sin(x+1). Derivando cada uma delas: a derivada de u(x) é u'(x)=e^x^2cdot2x (regra da cadeia), e a de v(x) é v'(x)=cos(x+1). Aplicando a regra do produto, obtemos:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2x e^x^2sin(x+1)+e^x^2cos(x+1)

Passo 3

Para simplificar f'(x), fatoramos e^x^2:
f'(x)=e^x^2l(2xsin(x+1)+cos(x+1)r)

Passo 4

Agora vamos achar f''(x). Note que f'(x)=e^x^2g(x), com g(x)=2xsin(x+1)+cos(x+1). Primeiro derivamos g(x) usando regra do produto e derivadas de seno e cosseno:
g'(x)=2sin(x+1)+2xcos(x+1)-sin(x+1)=sin(x+1)+2xcos(x+1)

Passo 5

Por fim, aplicamos a regra do produto em f'(x)=e^x^2g(x): derivada de e^x^2 é 2x e^x^2 e somamos e^x^2g'(x). Assim:
f''(x)=2x e^x^2g(x)+e^x^2g'(x)=e^x^2l(2xl(2xsin(x+1)+cos(x+1)r)+sin(x+1)+2xcos(x+1)r)
Simplificando os termos internos, obtemos a forma final abaixo.

Resposta

f'(x)=e^x^2l(2xsin(x+1)+cos(x+1)r)
f''(x)=e^x^2l((4x^2+1)sin(x+1)+4xcos(x+1)r)

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