Nas funções f abaixo, calcule f^prime e f^prime prime, se existirem. f(x)=raiz[3]x+1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas primeira e segunda da função f(x)=raiz[3]x+1=(x+1)^1/3. Vamos usar a regra da potência para funções do tipo (x+1)^n.

Passo 2

Para calcular f'(x), aplicamos a regra ddx(x+1)^n=n(x+1)^n-1 com n=1/3:
f'(x)=13(x+1)^tfrac13-1=13(x+1)^-2/3

Passo 3

Para obter f''(x), aplicamos novamente a regra da potência sobre f'(x)=tfrac13(x+1)^-2/3 com o expoente -2/3:
f''(x)=13cdotl(-tfrac23r)(x+1)^-2/3-1=-29(x+1)^-5/3

Passo 4

Observamos que tanto f'(x) quanto f''(x) envolvem potências negativas de x+1, de modo que esses derivados só existem quando x+1neq 0, isto é, para xneq -1.

Resposta

[f’(x)=\frac{1}{3}(x+1)^{-2/3}]
[f’’(x)=-\frac{2}{9}(x+1)^{-5/3}]
Domínio dos derivados: xneq -1.

Exercícios relacionados