Para as funções abaixo, defina (se possível) f(0,0) para que a mesma seja contínua em (0,0).
f(x, y)=3 x^2 y /(x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=3x^2yx^2+y^2 e pede para acharmos um valor para f(0,0) que torne f contínua em (0,0). O conteúdo envolvido é limite de função de duas variáveis e usaremos coordenadas polares para avaliar esse limite.

Passo 2

Passamos para coordenadas polares, definindo x=rcostheta e y=rsintheta. Assim, quando (x,y)to(0,0) equivale a rto0^+, e
f(r,theta)=3(rcostheta)^2(rsintheta)(rcostheta)^2+(rsintheta)^2 =3r^3cos^2thetasinthetar^2(cos^2theta+sin^2theta) =3rcos^2thetasintheta

Passo 3

Observamos que |3rcos^2thetasintheta|<=3r, e como rto0^+ isso implica que f(r,theta)to0 independentemente de theta.
Portanto o limite de f(x,y) em (0,0) é zero, e definindo f(0,0)=0 a função fica contínua em (0,0).

Resposta

f(0,0)=0

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