Seja f(x)=0 um método iterativo para obter aproximações para uma raiz da equação f(x)=0.
(a) Sabendo-se que 1.5,2.5 tem uma raiz no intervalo ( xi+1=xi^2-2 ), quais dos métodos iterativos abaixo convergirão para essa raiz? Justifique analiticamente sua resposta.
  • xi+1=raiz2+xi;
  • xi+1=1+2xi;
  • .

Passo 1

Temos um método iterativo xi+1=phi(xi) para aproximar a raiz de f(x)=0 que sabemos existir em (1.5,2.5). A tarefa é verificar, para cada função phi dada, se a iteração converge para a raiz nesse intervalo usando o critério do ponto fixo.

Passo 2

O critério de convergência por ponto fixo (Teorema de Banach) diz que, se phi é C^1 num intervalo I e satisfaz |phi'(x)|<= g<1 para todo xin I, além de mapear I em si, então a iteração converge para o único ponto fixo em I.

Passo 3

Primeiro, encontramos os pontos fixos de cada phi resolvendo phi(x)=x: em todos os casos surge a equação x^2-x-2=0, cujas raízes são x=-1 e x=2. Desses, apenas x=2 está em (1.5,2.5).

Passo 4

Para phi1(x)=x^2-2 temos
phi1'(x)=2x
Em [1.5,2.5] vale 2x>=3>1, logo não satisfaz |phi1'(x)|<1. Portanto essa iteração não converge.

Passo 5

Para phi2(x)=raiz2+x temos
phi2'(x)=12raiz2+x
Em [1.5,2.5] temos 2+xin[3.5,4.5] e assim
|phi2'(x)|<= 12raiz3.5approx0.268<1
Além disso
phi2([1.5,2.5])=[raiz3.5,raiz4.5]subset[1.5,2.5]
Logo phi2 define uma contração e a iteração converge.

Passo 6

Para phi3(x)=1+tfrac2x temos
phi3'(x)=-2x^2,
então em [1.5,2.5]
|phi3'(x)|=2x^2<=21.5^2approx0.89<1
E
phi3([1.5,2.5])=[1+tfrac22.5,,1+tfrac21.5]=[1.8,2.33]subset[1.5,2.5]
Portanto phi3 também é contração e a iteração converge.

Resposta

Convergem somente os métodos
xi+1=raiz2+xi e xi+1=1+tfrac2xi.

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