Seja
um método iterativo para obter aproximações para uma raiz da equação
.
(a) Sabendo-se que
tem uma raiz no intervalo (
), quais dos métodos iterativos abaixo convergirão para essa raiz? Justifique analiticamente sua resposta.
-
;
-
;
-
.
(a) Sabendo-se que
Passo 1
Temos um método iterativo
para aproximar a raiz de
que sabemos existir em
. A tarefa é verificar, para cada função
dada, se a iteração converge para a raiz nesse intervalo usando o critério do ponto fixo.
Passo 2
O critério de convergência por ponto fixo (Teorema de Banach) diz que, se
é
num intervalo
e satisfaz
para todo
, além de mapear
em si, então a iteração converge para o único ponto fixo em
.
Passo 3
Primeiro, encontramos os pontos fixos de cada
resolvendo
: em todos os casos surge a equação
, cujas raízes são
e
. Desses, apenas
está em
.
Passo 4
Para
temos
Em
vale
, logo não satisfaz
. Portanto essa iteração não converge.
Passo 5
Para
temos
Em
temos
e assim
Além disso
Logo
define uma contração e a iteração converge.
Passo 6
Para
temos
então em
E
Portanto
também é contração e a iteração converge.
Resposta
Convergem somente os métodos
e
.