A função posição s de um ponto P que se move em uma reta coordenada é dada por s(t), com t em segundos e s(t) em centímetros. (a) Ache a velocidade média de P nos seguintes intervalos de tempo: [1 ; 1,2], [1 ; 1,1] e [1 ; 1,01]. (b) Determine a velocidade de P em t=1.
s(t)=2 t-3 t^2

Passo 1

O enunciado dá a posição de um ponto na reta como s(t)=2t-3t^2 (com s em cm e t em s) e pede (a) a velocidade média nos intervalos [1,1.2], [1,1.1] e [1,1.01]; (b) a velocidade instantânea em t=1. Para isso usaremos a definição de velocidade média e a derivada de s(t).

Passo 2

Para calcular a velocidade média entre dois instantes t1 e t2, usamos a fórmula
vm = s(t2)-s(t1)t2-t1
que é o coeficiente angular da reta secante ao gráfico de s(t) entre t1 e t2.

Passo 3

No intervalo [1,1.2]:
Calculamos primeiro
s(1.2)=2cdot1.2-3cdot(1.2)^2=2.4-3cdot1.44=2.4-4.32=-1.92,
s(1)=2cdot1-3cdot1^2=2-3=-1
Então
vm = -1.92-(-1)1.2-1=-0.920.2=-4.6 cm/s

Passo 4

No intervalo [1,1.1]:
s(1.1)=2.2-3cdot1.21=2.2-3.63=-1.43,
vm = -1.43-(-1)1.1-1=-0.430.1=-4.3 cm/s

Passo 5

No intervalo [1,1.01]:
s(1.01)=2.02-3cdot1.0201=2.02-3.0603=-1.0403,
vm = -1.0403-(-1)1.01-1=-0.04030.01=-4.03 cm/s

Passo 6

Para a velocidade instantânea em t=1, calculamos a derivada de s(t):
s'(t)=ddt(2t-3t^2)=2-6t
Em t=1:
v(1)=s'(1)=2-6cdot1=-4 cm/s

Resposta

Velocidades médias: [-4.6; -4.3; -4.03] cm/s nos respectivos intervalos [1,1.2], [1,1.1] e [1,1.01]. Velocidade instantânea em t=1: -4 cm/s.

Exercícios relacionados