Para as funções abaixo, determine:
a concavidade;
1°) f(x)=x^2-4 x+3
2°) y=-x^2+6 x
3°) y=x^2-2 x+5
4°) y=-x^2+2 x-1

Passo 1

O enunciado pede para determinarmos a concavidade de quatro funções quadráticas. O conteúdo da matéria é análise de concavidade usando derivadas: basta calcular a segunda derivada de cada função e usar o critério
– se f''(x)>0, a curva é côncava para cima;
– se f''(x)<0, a curva é côncava para baixo;
não há ponto de inflexão em quadráticas porque f'' é constante.

Passo 2

Para uma função genérica do tipo
f(x)=ax^2+bx+c,
temos
f'(x)=2ax+b
f''(x)=2a
Logo, basta identificar o coeficiente a em cada função.

Passo 3

Na função f(x)=x^2-4x+3, o coeficiente quadrático é a=1.
f''(x)=2a=2cdot1=2>0,
portanto a curva é côncava para cima.

Passo 4

Na função y=-x^2+6x, o coeficiente quadrático é a=-1.
y''(x)=2a=2cdot(-1)=-2<0,
portanto a curva é côncava para baixo.

Passo 5

Na função y=x^2-2x+5, o coeficiente quadrático é a=1.
y''(x)=2a=2cdot1=2>0,
logo é côncava para cima.

Passo 6

Na função y=-x^2+2x-1, o coeficiente quadrático é a=-1.
y''(x)=2a=2cdot(-1)=-2<0,
logo é côncava para baixo.

Resposta

1°) côncava para cima
2°) côncava para baixo
3°) côncava para cima
4°) côncava para baixo

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