Para as funções abaixo, determine:
o conjunto imagem; g) o estudo de sinal.
2^circ) y=-x^2+6 x

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática y=-x^2+6x e pede:
– o conjunto imagem (todos os valores possíveis de y);
– o estudo de sinal (para quais x temos y>0, y=0 e y<0).
Vamos usar teoria de parábolas: forma de vértice e raízes.

Passo 2

Transformamos a função em forma de vértice completando o quadrado:
y = -x^2+6x = -l(x^2 -6xr) = -l(x^2 -6x +9 -9r) = -l(x-3r)^2 +9
Dessa forma, a parábola tem concavidade para baixo (coeficiente de x^2 negativo) e vértice em (3,9).

Passo 3

Como a parábola abre para baixo e atinge valor máximo y=9 no vértice, o conjunto imagem é
Im(f) = ,yinRmid y<= 9
ou, em notação de intervalo,
(-infty,,9]

Passo 4

Para o estudo de sinal, primeiro achamos as raízes resolvendo y=0:
-x^2+6x=0 ;Longrightarrow; x,(6 - x)=0 ;Longrightarrow; x=0ou x=6

Passo 5

Como a parábola abre para baixo, o gráfico de y fica:
y>0 para x entre as raízes, isto é, xin(0,6).
y=0 em x=0 e em x=6.
y<0 para x<0 e para x>6.

Resposta

Conjunto imagem: yinRmid y<= 9 ou (-infty,9].
Estudo de sinal:
y>0 em xin(0,6).
y=0 em x=0 e em x=6.
y<0 em xin(-infty,0)cup(6,infty).

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