Para as funções abaixo, determine:
o conjunto imagem; g) o estudo de sinal.
1^circ) f(x)=x^2-4 x+3

Passo 1

O enunciado pede para a função quadrática
f(x)=x^2-4x+3
determinar o conjunto imagem (intervalo de valores que f atinge) e fazer o estudo de sinal (onde f é positiva, negativa ou zero). Vamos usar propriedades de parábolas (coeficiente a>0, vértice) para a imagem e fatoração para o sinal.

Passo 2

Como f(x)=x^2-4x+3 é uma parábola com coeficiente a=1>0, ela tem um mínimo no vértice. O eixo de simetria fica em
xv=-b2a=--42cdot1=2
e o valor mínimo é
f(2)=2^2-4cdot2+3=4-8+3=-1

Passo 3

Como a parábola abre para cima e atinge valor mínimo -1, o conjunto imagem é
Im(f)=[-1,infty)

Passo 4

Para estudar o sinal, fatoramos f. Observamos que
x^2-4x+3=(x-1)(x-3),
logo as raízes são x=1 e x=3.

Passo 5

Analisando os fatores em cada intervalo:
  • Para x<1, os dois termos x-1 e x-3 são negativos, de modo que f(x)>0.
  • Para 1<x<3, o fator x-1>0 mas x-3<0, então f(x)<0.
  • Para x>3, ambos x-1 e x-3 são positivos, logo f(x)>0.
    Em x=1 ou x=3 temos f(x)=0.

Resposta

Conjunto imagem: [-1,infty) .
Estudo de sinal:
f(x)>0 para xin(-infty,1)cup(3,infty) ,
f(x)=0 em x=1,3 ,
f(x)<0 para xin(1,3) .

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