Para as funções abaixo, determine:
o conjunto imagem; g) o estudo de sinal.
39) y=x^2-2 x+5

Passo 1

Neste exercício temos a função quadrática y = x^2 - 2x + 5. Vamos determinar o conjunto imagem (range) e fazer o estudo de sinal (quando a função é positiva, negativa ou zero). Para isso, completaremos o quadrado para achar o valor mínimo e também verificaremos o discriminante para saber se há raízes reais.

Passo 2

Completar o quadrado em x^2 - 2x + 5:
x^2 - 2x + 5 = (x - 1)^2 - 1 + 5 = (x - 1)^2 + 4

Passo 3

Da forma (x-1)^2 + 4 vemos que (x-1)^2 >= 0 para todo x, logo o menor valor de y é 4, obtido em x = 1. Portanto o conjunto imagem é
[4,infty)

Passo 4

Para o estudo de sinal, calculamos o discriminante:
De<a = (-2)^2 - 4cdot1cdot5 = 4 - 20 = -16 < 0
Como De<a<0 e o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola não corta o eixo x e fica inteiramente acima dele. Assim,
y>0 forall xinR

Resposta

Conjunto imagem: [4,infty)
Estudo de sinal: y>0 para todo xinR.

Exercícios relacionados