Encontre as assíntotas horizontais e verticais de f(x)=x^2+xx^2-x-2

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x^2+xx^2-x-2
e pede as assíntotas horizontais e verticais. Para isso, vamos usar fatoração de polinômios para identificar pontos de descontinuidade, classificar o tipo de cada descontinuidade (removível ou vertical) e calcular limites em pontos críticos e em xtopminfty.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
x^2+x = x(x+1),
x^2-x-2 = (x-2)(x+1)
Portanto, para xneq -1,2,
f(x)=x(x+1)(x-2)(x+1)=xx-2

Passo 3

As raízes do denominador original são x=-1 e x=2.
Em x=-1 há cancelamento do fator (x+1), caracterizando uma descontinuidade removível, pois
limxto -1f(x) =limxto -1xx-2 =-1-3 =13,
o valor é finito e não gera assíntota vertical.
Em x=2 não ocorre cancelamento, então pode haver assíntota vertical.

Passo 4

Verificamos os limites em xto 2:
limxto 2^+f(x) =limxto 2^+xx-2 =+infty,
limxto 2^-f(x) =limxto 2^-xx-2 =-infty
Como a função diverge para pminfty ao se aproximar de x=2, há assíntota vertical em x=2.

Passo 5

Para a assíntota horizontal, estudamos xtopminfty. Da forma simplificada f(x)=xx-2, dividimos numerador e denominador por x:
limxtopminftyf(x) =limxtopminfty11-2/x =1
Logo, a assíntota horizontal é y=1.

Resposta

Assíntota vertical: x=2.
Assíntota horizontal: y=1.

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