Nas equações dadas a seguir, onde e é a base dos logaritmos neperianos, determinar a equação dimensional, no SI, das grandezas a, b, c e d
Equação da pressão P na atmosfera terrestre a uma altitude de h acima do nível do mar; g é a aceleração da gravidade suposta constante
P=b e^-a g hb

Passo 1

O enunciado dá a lei
P = b,e^-a,g,hb
onde em unidades do SI temos
P é pressão, com dimensão [P] = M,L^-1,T^-2.
h é altitude, com dimensão [h] = L.
g é aceleração da gravidade, com dimensão [g] = L,T^-2.
Queremos achar as dimensões de a, b (e notamos que c e d não aparecem nesta fórmula).

Passo 2

Da igualdade P=b,e^(cdots) segue que b tem a mesma dimensão de P, isto é:
[b] = [P] = M,L^-1,T^-2

Passo 3

O argumento do exponencial deve ser adimensional, logo
a,g,hbé adimensionalé
Isso implica
[a],[g],[h][b] = 1 Longrightarrow [a] = [b][g],[h]
Substituindo [b]=M,L^-1,T^-2, [g]=L,T^-2, [h]=L, vem
[a] = M,L^-1,T^-2(L,T^-2),(L) = M,L^-3,T^0 = M,L^-3

Resposta

[a] = M,L^-3, [b] = M,L^-1,T^-2
Não há informações para determinar [c] e [d] nesta equação.

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