Leia com atenção. Justifique suas respostas.
Seja
. Encontre a inversa de
e determine o domínio e imagem da inversa de
.
Seja
Passo 1
O enunciado define a função
pede para encontrar
e determinar o domínio e a imagem de
.
O conteúdo envolvido é: teste de monotonicidade para garantir invertibilidade, solução de equação exponencial para obter a inversa e, finalmente, identificação de domínios e imagens.
O conteúdo envolvido é: teste de monotonicidade para garantir invertibilidade, solução de equação exponencial para obter a inversa e, finalmente, identificação de domínios e imagens.
Passo 2
Mostramos que
é estritamente crescente em
calculando a derivada:
Logo,
é injetora e, como seu domínio é
, é bijetora de
em sua imagem. Para achar a imagem, usamos limites:
Como
é contínua e crescente, sua imagem é
.
Passo 3
Para obter
, seja
Multiplicando por
e rearranjando,
Tomando ln em ambos os lados,
Portanto
Passo 4
O domínio de
é o conjunto de
que tornam positivo o argumento do logaritmo:
que coincide com a imagem de
. A imagem de
é o domínio original de
, isto é,
.