Leia com atenção. Justifique suas respostas.
Seja f(x)=e^x1+2 e^x. Encontre a inversa de f e determine o domínio e imagem da inversa de f.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=e^x1+2e^x,
pede para encontrar f^-1 e determinar o domínio e a imagem de f^-1.
O conteúdo envolvido é: teste de monotonicidade para garantir invertibilidade, solução de equação exponencial para obter a inversa e, finalmente, identificação de domínios e imagens.

Passo 2

Mostramos que f é estritamente crescente em R calculando a derivada:
f'(x) =e^x(1+2e^x)-e^xcdot2e^x(1+2e^x)^2 =e^x(1+2e^x)^2>0 forall xinR
Logo, f é injetora e, como seu domínio é R, é bijetora de R em sua imagem. Para achar a imagem, usamos limites:
limxto-inftyf(x)=0 e limxto+inftyf(x)=12
Como f é contínua e crescente, sua imagem é (0,tfrac12).

Passo 3

Para obter f^-1, seja
y=e^x1+2e^x
Multiplicando por 1+2e^x e rearranjando,
y(1+2e^x)=e^x Longrightarrow y+2y,e^x=e^x Longrightarrow e^x=y1-2y
Tomando ln em ambos os lados,
x=ln!l(y1-2yr)
Portanto
f^-1(y)=ln!l(y1-2yr)

Passo 4

O domínio de f^-1 é o conjunto de y que tornam positivo o argumento do logaritmo:
y1-2y>0 Longrightarrow yin(0,tfrac12),
que coincide com a imagem de f. A imagem de f^-1 é o domínio original de f, isto é, R.

Resposta

f^-1(y)=ln!l(tfracy1-2yr)
Dom(f^-1)=(0,tfrac12)
Im(f^-1)=R

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