Para as funções abaixo, determine:
o estudo de sinal.
1°) f(x)=x^2-4 x+3
2°) y=-x^2+6 x
3°) y=x^2-2 x+5
4°) y=-x^2+2 x-1

Passo 1

Temos quatro funções quadráticas e queremos estudar onde cada uma é positiva, nula ou negativa. O conteúdo principal é o estudo de sinal de polinômios de segundo grau:
  • calcular o discriminante De<a = b^2 - 4ac,
  • encontrar as raízes (se existirem),
  • observar o sinal do coeficiente a (concavidade da parábola),
  • montar o quadro de sinais em função dos intervalos delimitados pelas raízes.

Passo 2

Considere f1(x)=x^2-4x+3. Aqui a=1, b=-4, c=3.
Calculemos o discriminante:
De<a = (-4)^2 - 4cdot1cdot3 = 16 - 12 = 4
Como De<a>0, há duas raízes reais:
x1,2 = -bpmraizDe<a2a = 4pm22 ;Longrightarrow; x1=1,; x2=3
Como a=1>0, a parábola abre para cima, logo f1(x)>0 fora das raízes e f1(x)<0 entre elas.

Passo 3

Considere f2(x)=-x^2+6x. Aqui a=-1, b=6, c=0.
De<a = 6^2 - 4cdot(-1)cdot0 = 36
Raízes:
x1,2 = -6pmraiz362cdot(-1) = -6pm6-2 ;Longrightarrow; x1=0,; x2=6
Como a=-1<0, a parábola abre para baixo, logo f2(x)>0 entre as raízes e f2(x)<0 fora delas.

Passo 4

Considere f3(x)=x^2-2x+5. Aqui a=1, b=-2, c=5.
De<a = (-2)^2 - 4cdot1cdot5 = 4 - 20 = -16 < 0
Não há raízes reais. Como a=1>0, a parábola está sempre acima do eixo x, isto é, f3(x)>0 para todo x.

Passo 5

Considere f4(x)=-x^2+2x-1. Aqui a=-1, b=2, c=-1.
De<a = 2^2 - 4cdot(-1)cdot(-1) = 4 - 4 = 0
Há uma raiz dupla:
x = -22cdot(-1) = 1
Como a=-1<0, a parábola abre para baixo e toca o eixo x em x=1. Portanto f4(x)<=0, sendo zero apenas em x=1 e negativa em qualquer outro ponto.

Resposta

1circ) Para f1(x)=x^2-4x+3:
;f1(x)>0 se x<1 ou x>3;
;f1(x)=0 em x=1,3;
;f1(x)<0 se 1<x<3.
2circ) Para f2(x)=-x^2+6x:
;f2(x)>0 se 0<x<6;
;f2(x)=0 em x=0,6;
;f2(x)<0 se x<0 ou x>6.
3circ) Para f3(x)=x^2-2x+5:
;f3(x)>0 para todo xinR.
4circ) Para f4(x)=-x^2+2x-1:
;f4(x)<0 se xneq1;
;f4(x)=0 em x=1.

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