Calcule:
integral-1^2 integral1^x^2 integral0^x+y 2 x^2 y d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla
integral-1^2 integral1^x^2 integral0^x+y 2x^2y ,dz,dy,dx
O conteúdo é aplicação do Teorema de Fubini: vamos integrar em ordem z, depois y e por fim x.

Passo 2

Primeiro integramos em z, tratando x e y como constantes:
integral0^x+y2x^2y,dz =2x^2y;l[zr]0^x+y =2x^2y,(x+y)

Passo 3

Agora integramos em y:
integral1^x^22x^2y,(x+y),dy =integral1^x^2l(2x^3y+2x^2y^2r),dy
A antiderivada é
x^3y^2+tfrac23x^2y^3,
avaliada de y=1 a y=x^2, o que dá
x^3(x^2)^2+tfrac23x^2(x^2)^3 -l[x^3+tfrac23x^2r] =x^7+tfrac23x^8-x^3-tfrac23x^2

Passo 4

Restou a integral em x:
integral-1^2l(x^7+tfrac23x^8-x^3-tfrac23x^2r),dx
Calculamos a antiderivada termo a termo:
F(x) =x^88+227x^9-x^44-29x^3

Passo 5

Avaliaremos F(2) e F(-1).
Em x=2:
F(2) =32+102427-4-169 =173227
Em x=-1:
F(-1) =18-227-14+29 =5216
Portanto
integral-1^2!integral1^x^2!integral0^x+y2x^2y,dz,dy,dx =F(2)-F(-1) =13851216 =5138

Resposta

5138

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