Para as funções abaixo, determine a expressão da sua função inversa, seu domínio e imagem.
f: R \rightarrow R definida por f(x)=-8 x+5

Passo 1

O enunciado dá a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x) = -8x + 5.
O que é pedido:
  • A expressão da função inversa f^{-1}.
  • O domínio de f^{-1}.
  • A imagem de f^{-1}.

Passo 2

O que é uma função inversa, de um jeito prático e sem lenga-lenga: a função inversa de f é outra função que “desfaz” o efeito de f. Formalmente, f^{-1} é tal que
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x\quad\text{e}\quad f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=x
para todos x nos domínios apropriados. Para existir uma inversa, f precisa ser bijetora (injeção + sobrejeção). Vou verificar isso para a nossa f.

Passo 3

Verificando injetividade e sobrejetividade (de forma simples para funções lineares):
  • f é uma função linear do tipo f(x)=ax+b com a=-8. Como a \neq 0 (isto é, -8\neq 0), a função é estritamente monotônica (aqui, decrescente) e, portanto, injetora.
  • Para qualquer y\in\mathbb{R} é possível resolver y=-8x+5 para obter um x\in\mathbb{R}. Isso mostra que a imagem de f é todo \mathbb{R} (sobrejetividade). Conclusão: f é bijetora e tem inversa definida em todo \mathbb{R}.

Passo 4

Agora, procedimento padrão para achar a inversa (faça isso na prova que funciona sempre para funções invertíveis):
  1. Escreve y=f(x):
y = -8x + 5.
  1. Resolve essa equação para x em termos de y:
y - 5 = -8x
x = \frac{5 - y}{8}.
  1. Troca o papel das variáveis (substitui y por x) para escrever a inversa como função da variável x:
f^{-1}(x)=\frac{5 - x}{8}.

Passo 5

Opcionalmente reescrever de forma mais familiar (coeficiente à vista):
f^{-1}(x)=\frac{5}{8}-\frac{1}{8}x = -\frac{1}{8}x+\frac{5}{8}.
Ambas as formas são equivalentes; use a que achar mais clara na prova.

Passo 6

Determinar domínio e imagem de f^{-1}:
  • O domínio de f^{-1} é a imagem de f. Como vimos no Passo 3, a imagem de f é \mathbb{R}. Logo o domínio de f^{-1} é \mathbb{R}.
  • A imagem de f^{-1} é o domínio de f, que é \mathbb{R}. Logo a imagem de f^{-1} também é \mathbb{R}.

Passo 7

Verificação rápida por composição (para ter certeza, sempre bom checar na prova):
  1. f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)= -8\!\left(\frac{5 - x}{8}\right)+5 = -(5 - x)+5 = -5 + x + 5 = x. OK.
  2. f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)= \dfrac{5 - (-8x+5)}{8} = \dfrac{5 +8x -5}{8}=\dfrac{8x}{8}=x. OK.
    As duas composições dão a identidade, confirmação de que a inversa está correta.

Resposta

f^{-1}(x)=\dfrac{5 - x}{8}
Domínio de f^{-1}: \mathbb{R}
Imagem de f^{-1}: \mathbb{R}

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