Para as funções abaixo, determine a expressão da sua função inversa, seu domínio e imagem.
definida por
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
.
O que é pedido:
O que é pedido:
- A expressão da função inversa
. - O domínio de
. - A imagem de
.
Passo 2
O que é uma função inversa, de um jeito prático e sem lenga-lenga: a função inversa de
é outra função que “desfaz” o efeito de
. Formalmente,
é tal que
para todos
nos domínios apropriados. Para existir uma inversa,
precisa ser bijetora (injeção + sobrejeção). Vou verificar isso para a nossa
.
Passo 3
Verificando injetividade e sobrejetividade (de forma simples para funções lineares):
-
é uma função linear do tipo com . Como (isto é, ), a função é estritamente monotônica (aqui, decrescente) e, portanto, injetora. - Para qualquer
é possível resolver para obter um . Isso mostra que a imagem de é todo (sobrejetividade). Conclusão: é bijetora e tem inversa definida em todo .
Passo 4
Agora, procedimento padrão para achar a inversa (faça isso na prova que funciona sempre para funções invertíveis):
- Escreve
:
- Resolve essa equação para
em termos de :
- Troca o papel das variáveis (substitui
por ) para escrever a inversa como função da variável :
Passo 5
Opcionalmente reescrever de forma mais familiar (coeficiente à vista):
Ambas as formas são equivalentes; use a que achar mais clara na prova.
Passo 6
Determinar domínio e imagem de
:
- O domínio de
é a imagem de . Como vimos no Passo 3, a imagem de é . Logo o domínio de é . - A imagem de
é o domínio de , que é . Logo a imagem de também é .
Passo 7
Verificação rápida por composição (para ter certeza, sempre bom checar na prova):
-
OK. -
OK.
As duas composições dão a identidade, confirmação de que a inversa está correta.
Resposta
Domínio de
Imagem de