Para as funções abaixo, determine a expressão da sua função inversa, seu domínio e imagem.
f: R \rightarrow R definida por f(x)=\sqrt[3]{x+2}

Passo 1

O enunciado dá a função f: \mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=\sqrt[3]{x+2} e pede:
  • a expressão da função inversa de f;
  • o domínio e a imagem (contraste: do enunciado, vou fornecer domínio e imagem de f e também os da inversa, pois isso costuma ser pedido junto).
Informações dadas que vamos usar:
  • a fórmula explícita f(x)=\sqrt[3]{x+2};
  • o domínio indicado é \mathbb{R} (isto é, f está definida para todo x\in\mathbb{R}).

Passo 2

Entendendo o que significa ter função inversa (explicação didática):
  • Uma função tem inversa quando é bijetora: injetora (um a um) e sobrejetora (atinge todos os valores do contradomínio considerado).
  • Para testar injetividade de f basta ver se é estritamente monótona. A função x\mapsto x+2 é estritamente crescente (se x_1<x_2 então x_1+2<x_2+2). A função t\mapsto\sqrt[3]{t} também é estritamente crescente em \mathbb{R} (a raiz cúbica preserva a ordem: se t_1<t_2 então \sqrt[3]{t_1}<\sqrt[3]{t_2}).
  • A composição de duas funções estritamente crescentes é estritamente crescente. Logo f(x)=\sqrt[3]{x+2} é estritamente crescente, portanto injetora.
  • Sobrejetividade (no contexto dado, contradomínio \mathbb{R}): para qualquer y\in\mathbb{R} existe x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y. De modo direto: dada qualquer y real, a equação \sqrt[3]{x+2}=y tem solução x=y^3-2, que é um número real; logo todo y é atingido — a imagem de f é \mathbb{R}. Portanto f é sobrejetora quando consideramos contradomínio \mathbb{R}.
  • Conclusão prática: f é bijetora e, portanto, possui inversa.

Passo 3

Encontrando a inversa passo a passo (álgebra elementar):
  • Começar trocando o nome da variável: seja y=f(x). Então
y=\sqrt[3]{x+2}.
  • Para isolar x, elevamos ambos os lados ao cubo (a elevação ao cubo é a operação inversa da raiz cúbica):
y^3 = x+2.
  • Agora isolamos x:
x = y^3 - 2.
  • Para escrever a função inversa na notação usual, trocamos y por uma variável de entrada (por exemplo x ou t). Tomando x como variável independente da inversa, obtemos:
f^{-1}(x)=x^3-2.
  • Observação sobre domínio/variáveis: aqui f^{-1} pega um número real x (que é um valor na imagem de f) e devolve x^3-2.

Passo 4

Determinar domínio e imagem (explicação e justificativa):
  • Domínio de f: pelo enunciado f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e a operação \sqrt[3]{\cdot} está definida para todo real, portanto
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.
  • Imagem de f: como explicado no passo 2, para qualquer y\in\mathbb{R} existe x=y^3-2 com f(x)=y. Portanto
\text{Im}(f)=\mathbb{R}.
  • Domínio e imagem da inversa: por definição, o domínio de f^{-1} é a imagem de f, e a imagem de f^{-1} é o domínio de f. Como ambos são \mathbb{R}, segue que
\text{Dom}(f^{-1})=\mathbb{R},\qquad \text{Im}(f^{-1})=\mathbb{R}.

Passo 5

Verificação rápida (confirmação prática, útil na prova):
  • Compor f e f^{-1} para checar identidade:
f(f^{-1}(x))=\sqrt[3]{(x^3-2)+2}=\sqrt[3]{x^3}=x\quad\text{(para todo }x\in\mathbb{R}\text{)},
e
f^{-1}(f(x))=(\sqrt[3]{x+2})^3-2=x+2-2=x\quad\text{(para todo }x\in\mathbb{R}\text{)}.
  • Essas igualdades confirmam que a expressão encontrada realmente é a inversa.

Resposta

f^{-1}(x)=x^3-2
\text{Dom}(f)=\mathbb{R} e \text{Im}(f)=\mathbb{R}
\text{Dom}(f^{-1})=\mathbb{R} e \text{Im}(f^{-1})=\mathbb{R}

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