Para as funções abaixo, determine a expressão da sua função inversa, seu domínio e imagem.
definida por
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede:
- a expressão da função inversa de
; - o domínio e a imagem (contraste: do enunciado, vou fornecer domínio e imagem de
e também os da inversa, pois isso costuma ser pedido junto).
Informações dadas que vamos usar:
- a fórmula explícita
; - o domínio indicado é
(isto é, está definida para todo ).
Passo 2
Entendendo o que significa ter função inversa (explicação didática):
- Uma função tem inversa quando é bijetora: injetora (um a um) e sobrejetora (atinge todos os valores do contradomínio considerado).
- Para testar injetividade de
basta ver se é estritamente monótona. A função é estritamente crescente (se então ). A função também é estritamente crescente em (a raiz cúbica preserva a ordem: se então ). - A composição de duas funções estritamente crescentes é estritamente crescente. Logo
é estritamente crescente, portanto injetora. - Sobrejetividade (no contexto dado, contradomínio
): para qualquer existe tal que . De modo direto: dada qualquer real, a equação tem solução , que é um número real; logo todo é atingido — a imagem de é . Portanto é sobrejetora quando consideramos contradomínio . - Conclusão prática:
é bijetora e, portanto, possui inversa.
Passo 3
Encontrando a inversa passo a passo (álgebra elementar):
- Começar trocando o nome da variável: seja
. Então
- Para isolar
, elevamos ambos os lados ao cubo (a elevação ao cubo é a operação inversa da raiz cúbica):
- Agora isolamos
:
- Para escrever a função inversa na notação usual, trocamos
por uma variável de entrada (por exemplo ou ). Tomando como variável independente da inversa, obtemos:
- Observação sobre domínio/variáveis: aqui
pega um número real (que é um valor na imagem de ) e devolve .
Passo 4
Determinar domínio e imagem (explicação e justificativa):
- Domínio de
: pelo enunciado e a operação está definida para todo real, portanto
- Imagem de
: como explicado no passo 2, para qualquer existe com . Portanto
- Domínio e imagem da inversa: por definição, o domínio de
é a imagem de , e a imagem de é o domínio de . Como ambos são , segue que
Passo 5
Verificação rápida (confirmação prática, útil na prova):
- Compor
e para checar identidade:
e
- Essas igualdades confirmam que a expressão encontrada realmente é a inversa.