Para as funções abaixo, determine a expressão da sua função inversa, seu domínio e imagem.
f: R-{4} \rightarrow R-{2} definida por f(x)=\frac{2 x-3}{x+4}

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a função f:\mathbb{R}\setminus\{4\}\to\mathbb{R}\setminus\{2\} dada por
f(x)=\frac{2x-3}{x+4}.
As perguntas são:
  • Determinar a expressão da função inversa f^{-1}.
  • Determinar o domínio de f^{-1}.
  • Determinar a imagem (contradomínio efetivo) de f^{-1}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Domínio de f é \mathbb{R}\setminus\{4\}.
  • Conjunto-alvo (codomínio informado) é \mathbb{R}\setminus\{2\}.
  • A fórmula de f é \dfrac{2x-3}{x+4}.

Passo 2

Conceito e estratégia (breve aula): para achar a inversa de uma função f que é bijetora entre seu domínio e sua imagem, colocamos y=f(x) e resolvemos essa equação para x em termos de y. O resultado x=\varphi(y) é a expressão de f^{-1} (mudando o nome da variável para x no final). Durante esse processo prestam-se atenção às restrições (valores proibidos por denominadores e por exclusões no domínio/imagem). Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Começar isolando x. Coloca-se y para representar a saída:
y=\frac{2x-3}{x+4}.
Multiplicando ambos os lados por x+4 (lembrando que x\neq -4 no domínio original):
y(x+4)=2x-3.
Distribuindo o y:
yx+4y=2x-3.
Agrupando os termos com x num lado:
yx-2x=-3-4y.
Fatorando x no lado esquerdo:
x(y-2)=-3-4y.

Passo 4

Agora isolamos x. Observação importante: para dividir por y-2 precisamos que y\neq 2. (Se y=2 a divisão não é permitida; mais adiante mostramos que realmente não existe x tal que f(x)=2, então y=2 não faz parte da imagem.)
Assumindo y\neq 2 dividimos:
x=\frac{-3-4y}{y-2}.
Multiplicando numerador e denominador por -1 para ficar mais “bonito”:
x=\frac{3+4y}{2-y}.

Passo 5

Troca-se o papel das variáveis (prática comum ao escrever a inversa): a expressão obtida em termos de y vira a fórmula de f^{-1} em termos de x. Assim:
f^{-1}(x)=\frac{3+4x}{2-x}.

Passo 6

Determinar o domínio de f^{-1}. Pela expressão \dfrac{3+4x}{2-x} o único problema imediato é o denominador zero, ou seja 2-x=0\Rightarrow x=2. Logo a expressão não está definida em x=2. Portanto o domínio candidato é \mathbb{R}\setminus\{2\}.
Agora justificar que não há outras restrições: ao resolver y=f(x) encontramos uma solução para todo y\neq 2, então a imagem de f é exatamente \mathbb{R}\setminus\{2\}. Isso confirma que o domínio de f^{-1} é \mathbb{R}\setminus\{2\}.

Passo 7

Mostrar que a imagem de f (logo o domínio de f^{-1}) é \mathbb{R}\setminus\{2\} de forma explícita (mini-prova): se fosse y=2 teríamos
\frac{2x-3}{x+4}=2 \quad\Rightarrow\quad 2x-3=2x+8,
que é a contradição -3=8. Logo 2 não é atingido por f, então 2\notin\operatorname{Im}(f). Para qualquer y\neq 2 a fórmula
x=\frac{3+4y}{2-y}
dá um número x que não é -4 (verificação: se fosse -4 então 3+4y=-4(2-y)=-8+4y, o que dá 3=-8, impossível). Assim para todo y\neq 2 existe x\in\mathbb{R}\setminus\{-4\} com f(x)=y. Portanto \operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{2\} e, por consequência, \operatorname{Dom}(f^{-1})=\mathbb{R}\setminus\{2\}.

Passo 8

Determinar a imagem de f^{-1}. A imagem de f^{-1} é exatamente o domínio de f, por definição de função inversa. Portanto
\operatorname{Im}(f^{-1})=\mathbb{R}\setminus\{4\}.
Podemos fazer uma verificação rápida: resolver f^{-1}(x)=t para t qualquer e ver que t=-4 não ocorre (a equação \dfrac{3+4x}{2-x}=-4 leva a contradição 3=-8), então -4 não é imagem; todos os outros valores são atingidos por escolha adequada de x (basta tomar x=f(t)=\dfrac{2t-3}{t+4}, que não é 2 como já mostrado), confirmando \operatorname{Im}(f^{-1})=\mathbb{R}\setminus\{4\}.

Passo 9

Resumo final e checagem rápida: a inversa encontrada é
f^{-1}(x)=\frac{3+4x}{2-x},
com domínio \mathbb{R}\setminus\{2\} e imagem \mathbb{R}\setminus\{4\}. Pode-se checar que as composições f\bigl(f^{-1}(x)\bigr) e f^{-1}\bigl(f(x)\bigr) dão a identidade nos respectivos domínios, confirmando que a fórmula está correta.

Resposta

f^{-1}(x)=\dfrac{3+4x}{2-x}
\operatorname{Dom}(f^{-1})=\mathbb{R}\setminus\{2\}
\operatorname{Im}(f^{-1})=\mathbb{R}\setminus\{4\}

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