Para as funções abaixo, determine a expressão da sua função inversa, seu domínio e imagem.
definida por
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função
dada por
As perguntas são:
- Determinar a expressão da função inversa
. - Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (contradomínio efetivo) de
.
Informações relevantes fornecidas:
- Domínio de
é . - Conjunto-alvo (codomínio informado) é
. - A fórmula de
é .
Passo 2
Conceito e estratégia (breve aula): para achar a inversa de uma função
que é bijetora entre seu domínio e sua imagem, colocamos
e resolvemos essa equação para
em termos de
. O resultado
é a expressão de
(mudando o nome da variável para
no final). Durante esse processo prestam-se atenção às restrições (valores proibidos por denominadores e por exclusões no domínio/imagem). Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Começar isolando
. Coloca-se
para representar a saída:
Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que
no domínio original):
Distribuindo o
:
Agrupando os termos com
num lado:
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 4
Agora isolamos
. Observação importante: para dividir por
precisamos que
. (Se
a divisão não é permitida; mais adiante mostramos que realmente não existe
tal que
, então
não faz parte da imagem.)
Assumindo dividimos:
Assumindo
Multiplicando numerador e denominador por
para ficar mais “bonito”:
Passo 5
Troca-se o papel das variáveis (prática comum ao escrever a inversa): a expressão obtida em termos de
vira a fórmula de
em termos de
. Assim:
Passo 6
Determinar o domínio de
. Pela expressão
o único problema imediato é o denominador zero, ou seja
. Logo a expressão não está definida em
. Portanto o domínio candidato é
.
Agora justificar que não há outras restrições: ao resolver
encontramos uma solução para todo
, então a imagem de
é exatamente
. Isso confirma que o domínio de
é
.
Passo 7
Mostrar que a imagem de
(logo o domínio de
) é
de forma explícita (mini-prova): se fosse
teríamos
que é a contradição
. Logo
não é atingido por
, então
. Para qualquer
a fórmula
dá um número
que não é
(verificação: se fosse
então
, o que dá
, impossível). Assim para todo
existe
com
. Portanto
e, por consequência,
.
Passo 8
Determinar a imagem de
. A imagem de
é exatamente o domínio de
, por definição de função inversa. Portanto
Podemos fazer uma verificação rápida: resolver
para
qualquer e ver que
não ocorre (a equação
leva a contradição
), então
não é imagem; todos os outros valores são atingidos por escolha adequada de
(basta tomar
, que não é
como já mostrado), confirmando
.
Passo 9
Resumo final e checagem rápida: a inversa encontrada é
com domínio
e imagem
. Pode-se checar que as composições
e
dão a identidade nos respectivos domínios, confirmando que a fórmula está correta.