Para as funções abaixo, determine a expressão da sua função inversa, seu domínio e imagem.
f: R \rightarrow R definida por f(x)=2 x^{3}+3

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=2x^{3}+3.
O que se pede:
  • Determinar a expressão da função inversa f^{-1}.
  • Indicar o domínio de f.
  • Indicar a imagem (contradomínio efetivo) de f.

Passo 2

Entender se a função tem inversa (isto é, se é bijetora). Vou listar propriedades que ajudam:
  • Injetividade: uma função tem inversa apenas se for injetora. Uma maneira simples de ver injetividade aqui é observar que a função cúbica x\mapsto x^{3} é estritamente crescente em \mathbb{R}. Multiplicar por 2>0 e somar 3 preservam a ordem. Assim, se x_{1}<x_{2} então x_{1}^{3}<x_{2}^{3}, então 2x_{1}^{3}<2x_{2}^{3} e então 2x_{1}^{3}+3<2x_{2}^{3}+3. Portanto f(x_{1})<f(x_{2}) sempre que x_{1}<x_{2}: f é estritamente crescente e, portanto, injetora.
  • Sobrejetividade (imagem): como x^{3} tende a -\infty quando x\to-\infty e a +\infty quando x\to+\infty, a mesma propriedade vale para 2x^{3}+3. Logo os valores de f ocupam todo \mathbb{R}. Portanto f é sobrejetora em \mathbb{R}.
Conclusão: f é bijetora \Rightarrow tem inversa definida em todo \mathbb{R}.

Passo 3

Agora vamos calcular explicitamente a inversa. O procedimento padrão: escrever y=f(x) e resolver para x em termos de y:
y=2x^{3}+3.
Isolar x^{3}:
y-3=2x^{3}\quad\Longrightarrow\quad x^{3}=\frac{y-3}{2}.
Tomando a raiz cúbica (função inversa de elevar ao cubo, válida para todos os reais):
x=\sqrt[3]{\dfrac{y-3}{2}}=\left(\dfrac{y-3}{2}\right)^{1/3}.
Portanto, trocando o papel de y por x para escrever a função inversa na notação usual:
f^{-1}(x)=\left(\dfrac{x-3}{2}\right)^{1/3}.

Passo 4

Explicar por que essa expressão faz sentido para todo x\in\mathbb{R}:
  • A operação \left(\dfrac{x-3}{2}\right)^{1/3} é bem definida para todo número real (a raiz cúbica de qualquer número real existe e é real). Assim f^{-1} está definida em todo \mathbb{R}.
  • Além disso, a imagem de f já foi vista como \mathbb{R}, então o domínio de f^{-1} é \mathbb{R}. A imagem de f^{-1} é o domínio original de f, que é \mathbb{R}.

Passo 5

Cheque rápido por composição (verificação prática):
  • Calcular f(f^{-1}(x)):
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=2\left(\left(\dfrac{x-3}{2}\right)^{1/3}\right)^{3}+3 =2\left(\dfrac{x-3}{2}\right)+3=x-3+3=x.
  • Calcular f^{-1}(f(x)):
f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=\left(\dfrac{2x^{3}+3-3}{2}\right)^{1/3}=\left(\dfrac{2x^{3}}{2}\right)^{1/3}=(x^{3})^{1/3}=x,
onde usamos que para reais \sqrt[3]{x^{3}}=x. As duas composições dão a identidade, confirmando que a expressão encontrada é a inversa correta.

Resposta

f^{-1}(x)=\left(\dfrac{x-3}{2}\right)^{1/3}
\mathrm{dom}(f)=\mathbb{R}
\mathrm{im}(f)=\mathbb{R}

Exercícios relacionados