Para as funções abaixo, determine a expressão da sua função inversa, seu domínio e imagem.
definida por
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que se pede:
- Determinar a expressão da função inversa
. - Indicar o domínio de
. - Indicar a imagem (contradomínio efetivo) de
.
Passo 2
Entender se a função tem inversa (isto é, se é bijetora). Vou listar propriedades que ajudam:
- Injetividade: uma função tem inversa apenas se for injetora. Uma maneira simples de ver injetividade aqui é observar que a função cúbica
é estritamente crescente em . Multiplicar por e somar preservam a ordem. Assim, se então , então e então . Portanto sempre que : é estritamente crescente e, portanto, injetora. - Sobrejetividade (imagem): como
tende a quando e a quando , a mesma propriedade vale para . Logo os valores de ocupam todo . Portanto é sobrejetora em .
Conclusão:
é bijetora
tem inversa definida em todo
.
Passo 3
Agora vamos calcular explicitamente a inversa. O procedimento padrão: escrever
e resolver para
em termos de
:
Isolar
:
Tomando a raiz cúbica (função inversa de elevar ao cubo, válida para todos os reais):
Portanto, trocando o papel de
por
para escrever a função inversa na notação usual:
Passo 4
Explicar por que essa expressão faz sentido para todo
:
- A operação
é bem definida para todo número real (a raiz cúbica de qualquer número real existe e é real). Assim está definida em todo . - Além disso, a imagem de
já foi vista como , então o domínio de é . A imagem de é o domínio original de , que é .
Passo 5
Cheque rápido por composição (verificação prática):
- Calcular
:
- Calcular
:
onde usamos que para reais
. As duas composições dão a identidade, confirmando que a expressão encontrada é a inversa correta.