Para as funções abaixo, determine os pontos de máximo e mínimo absoluto da função no intervalo dado. Opcional: faça um esboço do gráfico da função.
f(x)=x^{4}-x / 2, intervalo -1 \leq x \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo absolutos de
f(x)=x^{4}-\frac{x}{2}
no intervalo -1\le x\le1.
O conteúdo é determinação de extremos absolutos de função em intervalo fechado, que exige:
– cálculo da derivada f'(x),
– identificação dos pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' não existe),
– avaliação de f nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo,
– comparação dos valores obtidos.

Passo 2

Calculamos a derivada de
f(x)=x^{4}-\frac{x}{2}
usando regra de potência e derivada de constante vezes x:
f'(x)=4x^{3}-\frac12.

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo
4x^{3}-\frac12=0.
Isolando x^{3}:
x^{3}=\frac{1}{8},
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x=\frac12.

Passo 4

Agora avaliamos f(x) nos candidatos: x=-1, x=\tfrac12 e x=1.
Para x=-1:
f(-1)=(-1)^{4}-\frac{-1}{2}=1+\frac12=\frac32.
Para x=\tfrac12:
f\bigl(\tfrac12\bigr)=\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{4}-\frac{\tfrac12}{2} =\frac{1}{16}-\frac{1}{4} =-\frac{3}{16}.
Para x=1:
f(1)=1^{4}-\frac{1}{2}=1-\frac12=\frac12.

Passo 5

Comparando os valores:
f(-1)=\tfrac32,\quad f\bigl(\tfrac12\bigr)=-\tfrac{3}{16},\quad f(1)=\tfrac12.
O menor valor é -\tfrac{3}{16} em x=\tfrac12, e o maior é \tfrac32 em x=-1.

Resposta

O ponto de mínimo absoluto é \bigl(\tfrac12,\,-\tfrac{3}{16}\bigr) e o ponto de máximo absoluto é \bigl(-1,\,\tfrac32\bigr).

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