Para as funções abaixo, determine os pontos de máximo e mínimo absoluto da função no intervalo dado. Opcional: faça um esboço do gráfico da função.
f(x)=x^{2}-2 x-2, intervalo 0 \leq x \leq 3.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=x^{2}-2x-2 no intervalo fechado 0\le x\le3. O objetivo é determinar os pontos de máximo e mínimo absolutos em um intervalo fechado. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas para identificar pontos críticos e também avaliar a função nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=2x-2.
Igualando a zero para achar pontos críticos:
2x-2=0\quad\Longrightarrow\quad x=1.
Como 1 está dentro de [0,3], é um candidato a extremo absoluto.

Passo 3

Avaliamo-s f em x=0, x=1 e x=3:
f(0)=0^{2}-2\cdot0-2=-2,
f(1)=1^{2}-2\cdot1-2=1-2-2=-3,
f(3)=3^{2}-2\cdot3-2=9-6-2=1.

Passo 4

Comparando os valores obtidos:
f(1)=-3,\quad f(0)=-2,\quad f(3)=1.
O menor valor é -3 em x=1 e o maior valor é 1 em x=3.

Resposta

O mínimo absoluto ocorre em (1,-3) e o máximo absoluto em (3,1).

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