Para as funções abaixo, determine os pontos de máximo e mínimo absoluto da função no intervalo dado. Opcional: faça um esboço do gráfico da função.
f(x)=\left(x^{2}-3 x+2\right) \cdot e^{x / 3}, intervalo -2 \leq x \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de
f(x) = (x^2 - 3x + 2)\,e^{x/3}
no intervalo [-2,2].
Conteúdo: derivadas (regra do produto), pontos críticos, comparação de valores no intervalo.

Passo 2

Calcule f'(x) pela regra do produto. Se g(x)=x^2-3x+2 e h(x)=e^{x/3}, então
g'(x)=2x-3, \quad h'(x)=\tfrac{1}{3}e^{x/3}.
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f'(x)=g'(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x) =e^{x/3}\bigl(2x-3\bigr)+\frac{e^{x/3}}{3}\bigl(x^2-3x+2\bigr).
Colocando e^{x/3} em evidência e somando frações:
f'(x) =e^{x/3}\left(\frac{3(2x-3)+(x^2-3x+2)}{3}\right) =\frac{e^{x/3}}{3}\bigl(x^2+3x-7\bigr).

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos f'(x)=0. Como e^{x/3}>0, basta
x^2+3x-7=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{-3\pm\sqrt{9+28}}{2} =\frac{-3\pm\sqrt{37}}{2}.
Destes, \tfrac{-3-\sqrt{37}}2\approx -4,54 está fora de [-2,2] e
x_c=\frac{-3+\sqrt{37}}{2}\approx1,54
fica dentro.

Passo 4

Avalie f nos extremos do intervalo e em x_c:
  1. Em x=-2:
f(-2)=\bigl[(-2)^2-3(-2)+2\bigr]e^{-2/3} =(4+6+2)\,e^{-2/3} =12\,e^{-2/3}.
  1. Em x=2:
f(2)=\bigl[4-6+2\bigr]\,e^{2/3}=0\cdot e^{2/3}=0.
  1. Em x_c = \tfrac{-3+\sqrt{37}}{2}: note que
x_c^2-3x_c+2 =18-3\sqrt{37}, \quad \frac{x_c}{3}=\frac{-3+\sqrt{37}}{6},
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f(x_c) =(18-3\sqrt{37})\,e^{(-3+\sqrt{37})/6}.
Numericamente 18-3\sqrt{37}\approx -0,246 e e^{(-3+\sqrt{37})/6}\approx1,68, logo f(x_c)\approx -0,41.

Passo 5

Compare os valores:
f(-2)\approx6,16, \quad f(2)=0, \quad f(x_c)\approx -0,41.
O maior é f(-2) e o menor é f(x_c).

Resposta

Ponto de máximo absoluto:
x=-2,\quad f(-2)=12\,e^{-2/3}.
Ponto de mínimo absoluto:
x=\frac{-3+\sqrt{37}}{2},\quad f\!\bigl(\tfrac{-3+\sqrt{37}}{2}\bigr) =(18-3\sqrt{37})\,e^{(-3+\sqrt{37})/6}.

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