Para as funções abaixo: Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente e classifique os pontos de máximos e mínimos, se existirem. Esboce o gráfico:
Passo 1
O enunciado pede para a função y=\frac{x+1}{x-3}: encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento via derivada, classificar máximos e mínimos (se existirem) e esboçar o gráfico. Vamos usar cálculo de derivada, teste de sinal e estudo de assíntotas.
Passo 2
A função é f(x)=\frac{x+1}{x-3}. O domínio é
. Para estudar monotonicidade, calculamos a derivada pelo quociente de funções:
Passo 3
Note que
para todo
e o numerador é
. Portanto
em todo o domínio.
Passo 4
Como
nunca muda de sinal (sempre negativo) e não há pontos onde
, concluímos que f é decrescente em cada componente de
e não existem extremos locais.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, identificamos as assíntotas e pontos chave: a assíntota vertical em x=3, a horizontal em y=1 (limite quando x→±∞) e o intercepto em x=-1 (y=0). Em
o ramo cai de y→1 para y→-∞; em
cai de y→+∞ para y→1, formando uma hipérbole.
Passo 6
O gráfico é portanto uma hipérbole decrescente com esses ramos e assíntotas.
Resposta
f é decrescente em (-∞,3) e em (3,∞) e não é crescente em nenhum intervalo de seu domínio. Não há máximos nem mínimos locais. Assíntotas: x=3 (vertical) e y=1 (horizontal). Intercepto em x=-1. O gráfico é uma hipérbole decrescente aproximando-se dessas assíntotas.