Para as funções abaixo: Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente e classifique os pontos de máximos e mínimos, se existirem. Esboce o gráfico: y=x+1x-3

Passo 1

O enunciado pede para a função y=\frac{x+1}{x-3}: encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento via derivada, classificar máximos e mínimos (se existirem) e esboçar o gráfico. Vamos usar cálculo de derivada, teste de sinal e estudo de assíntotas.

Passo 2

A função é f(x)=\frac{x+1}{x-3}. O domínio é D= Rsetminus3. Para estudar monotonicidade, calculamos a derivada pelo quociente de funções:
f'(x)=(1),(x-3)-(x+1),(1)(x-3)^2 =x-3-x-1(x-3)^2 =-4(x-3)^2

Passo 3

Note que (x-3)^2>0 para todo xneq3 e o numerador é -4<0. Portanto f'(x)<0 em todo o domínio.

Passo 4

Como f'(x) nunca muda de sinal (sempre negativo) e não há pontos onde f'(x)=0, concluímos que f é decrescente em cada componente de D e não existem extremos locais.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, identificamos as assíntotas e pontos chave: a assíntota vertical em x=3, a horizontal em y=1 (limite quando x→±∞) e o intercepto em x=-1 (y=0). Em (-infty,3) o ramo cai de y→1 para y→-∞; em (3,infty) cai de y→+∞ para y→1, formando uma hipérbole.

Passo 6

O gráfico é portanto uma hipérbole decrescente com esses ramos e assíntotas.

Resposta

f é decrescente em (-∞,3) e em (3,∞) e não é crescente em nenhum intervalo de seu domínio. Não há máximos nem mínimos locais. Assíntotas: x=3 (vertical) e y=1 (horizontal). Intercepto em x=-1. O gráfico é uma hipérbole decrescente aproximando-se dessas assíntotas.

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