Para as funções abaixo:
  • Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente e classifique os pontos de máximos e mínimos, se existirem.
  • Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão, caso existam.
  • Esboce o gráfico.
    a) f(x)=x^3+3 x^2-24 x

Passo 1

O enunciado pede pra gente analisar a função f(x)=x^3+3x^2-24x: descobrir onde ela cresce e decresce (usando a primeira derivada), classificar máximos e mínimos, achar intervalos de concavidade e pontos de inflexão (com a segunda derivada) e finalmente esboçar o gráfico.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada de f pra encontrar os pontos críticos e verificar o sinal de f'.
A primeira derivada é
f'(x)=3x^2+6x-24
Para achar pontos críticos, resolvemos f'(x)=0:
3x^2+6x-24=0Longrightarrow x^2+2x-8=0
As raízes são
x=-2pmraiz4+322=-2pm62implies x=-4,;x=2

Passo 3

Agora fazemos o teste de sinal de f' nos intervalos determinados por -infty,-4,2,infty:
  • Para x<-4, por exemplo x=-5: f'(-5)=3cdot25-30-24=21>0. Então f'!>0 e f cresce em (−∞,−4).
  • Para -4, por exemplo x=0: f'(0)=-24<0. Então f decresce em (−4,2).
  • Para x>2, por exemplo x=3: f'(3)=27+18-24=21>0. Então f cresce em (2,∞).
    Logo há um máximo local em x=-4 e um mínimo local em x=2. Calculando os valores:
f(-4)=(-4)^3+3(-4)^2-24(-4)=-64+48+96=80
f(2)=2^3+3cdot2^2-24cdot2=8+12-48=-28

Passo 4

Agora vamos à concavidade usando a segunda derivada:
f''(x)=6x+6
Resolvendo f''(x)=0 6x+6=0implies x=-1. Esse é candidato a ponto de inflexão.
  • Para x<-1, digamos x=-2: f''(-2)=6(-2)+6=-6<0, concavidade para baixo.
  • Para x>-1, digamos x=0: f''(0)=6>0, concavidade para cima.
    Assim, x=-1 é ponto de inflexão. O valor de f(-1) é
f(-1)=(-1)^3+3(-1)^2-24(-1)=-1+3+24=26

Passo 5

Pra esboçar o gráfico, resumindo:
– Cresce em (-∞,-4), atinge máximo local em (-4,80).
– Decresce em (-4,2), atinge mínimo local em (2,-28).
– Cresce em (2,∞).
– Concavidade para baixo em (-∞,-1), ponto de inflexão em (-1,26), concavidade para cima em (-1,∞).
No esboço a curva sobe até (-4,80), desce até (2,-28) e depois sobe de novo, mudando a curvatura em (-1,26).

Resposta

Intervalos de crescimento: (−∞,−4) e (2,∞)
Intervalo de decrescimento: (−4,2)
Máximo local em (-4,80)
Mínimo local em (2,−28)
Concavidade para baixo em (−∞,−1)
Concavidade para cima em (−1,∞)
Ponto de inflexão em (−1,26)
Esboço: curva sobe até (-4,80), desce até (2,-28), sobe depois, com mudança de curvatura em (-1,26).

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