Para as funções abaixo:
- Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente e classifique os pontos de máximos e mínimos, se existirem.
- Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão, caso existam.
- Esboce o gráfico.
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede pra gente analisar a função
: descobrir onde ela cresce e decresce (usando a primeira derivada), classificar máximos e mínimos, achar intervalos de concavidade e pontos de inflexão (com a segunda derivada) e finalmente esboçar o gráfico.
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada de
pra encontrar os pontos críticos e verificar o sinal de
.
A primeira derivada é
A primeira derivada é
Para achar pontos críticos, resolvemos
:
As raízes são
Passo 3
Agora fazemos o teste de sinal de
nos intervalos determinados por
:
- Para
, por exemplo : . Então e cresce em . - Para
, por exemplo : . Então decresce em . - Para
, por exemplo : . Então cresce em .
Logo há um máximo local eme um mínimo local em . Calculando os valores:
Passo 4
Agora vamos à concavidade usando a segunda derivada:
Resolvendo
dá
. Esse é candidato a ponto de inflexão.
- Para
, digamos : , concavidade para baixo. - Para
, digamos : , concavidade para cima.
Assim,é ponto de inflexão. O valor de é
Passo 5
Pra esboçar o gráfico, resumindo:
– Cresce em , atinge máximo local em
.
– Decresce em , atinge mínimo local em
.
– Cresce em .
– Concavidade para baixo em , ponto de inflexão em
, concavidade para cima em
.
No esboço a curva sobe até , desce até
e depois sobe de novo, mudando a curvatura em
.
– Cresce em
– Decresce em
– Cresce em
– Concavidade para baixo em
No esboço a curva sobe até
Resposta
Intervalos de crescimento:
e
Intervalo de decrescimento:
Máximo local em
Mínimo local em
Concavidade para baixo em
Concavidade para cima em
Ponto de inflexão em
Esboço: curva sobe até (-4,80), desce até (2,-28), sobe depois, com mudança de curvatura em (-1,26).
Intervalo de decrescimento:
Máximo local em
Mínimo local em
Concavidade para baixo em
Concavidade para cima em
Ponto de inflexão em
Esboço: curva sobe até (-4,80), desce até (2,-28), sobe depois, com mudança de curvatura em (-1,26).