Para as funções abaixo, faça o isolamento dos intervalos em que as raízes estão. Para tanto, desenvolva uma tabela com valores de
e
. Justifique porque os intervalos escolhidos têm uma raiz, e só uma raiz, e não desenvolva as respostas pelo método gráfico.
;
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- Isolar intervalos nos quais as raízes estão;
- Desenvolver uma tabela com valores de
, e ; - Justificar por que cada intervalo escolhido contém uma raiz e por que contém apenas uma raiz;
- Não usar argumento gráfico.
Informações relevantes fornecidas:
-
.
Tarefa principal: encontrar intervalos nos quais existam as raízes reais dee provar existência e unicidade nessas regiões usando valores de e de .
Passo 2
Calcular a derivada e os pontos críticos (esses dados serão úteis para analisar monotonicidade).
Resolver
. O discriminante é
As raízes de
são
Logo
Interpretação de monotonicidade (política rápida):
- Como
é um polinómio quadrático com coeficiente líder positivo, para e para , e para . - Portanto
é crescente em , decrescente em e crescente em .
Passo 3
Construir a tabela com valores representativos (vou calcular passo a passo cada entrada para você poder reproduzir em prova). Vou incluir pontos nos extremos, nos pontos críticos e na vizinhança onde suspeitamos a raiz real.
Tabela: linhas com
,
e
.
Observações das contas (para você replicar facilmente):
- Em
e obtivemos e : ambos negativos. - Em
temos (ligeiramente negativo). - Em
temos (ligeiramente positivo). - Para todos os
listados acima maiores que (por exemplo ), (derivada positiva).]
Passo 4
Justificar existência de uma raiz no intervalo escolhido:
- Pelo Teorema do Valor Intermediário (Bolzano): se
e têm sinais opostos e é contínua (polinômio é contínuo), então existe tal que . - Da tabela temos
e . Como é contínua, existe pelo menos uma raiz em .
Justificar unicidade da raiz nesse intervalo:
- Em
temos , e já mostramos que para vale . Portanto é estritamente crescente em todo o intervalo , e em particular em . - Uma função estritamente crescente só pode trocar de sinal uma única vez: se
é estritamente monotona e contínua, uma vez que cruza o zero não pode voltar a cruzar. Assim dentro de há exatamente uma raiz.
Justificar que não existem outras raízes reais fora desse intervalo:
- Uma cúbica com coeficiente líder positivo satisfaz
e , logo pelo menos uma raiz real existe. Para que existam três raízes reais distintas, os extremos locais (máximo local e mínimo local) devem ter sinais opostos (isto permite duas trocas de sinal). - Os pontos críticos de
são (máximo local) e (mínimo local). Calculamos e . Ambos os extremos são negativos, ou seja, a cúpula e a vala locais ficam abaixo do eixo . Portanto a curva do polinômio só pode cruzar o eixo uma vez (pois nos extremos não há troca de sinal), logo existe exatamente uma raiz real no total. - Conclusão: existe uma e somente uma raiz real, e ela está localizada no intervalo
que encontramos por Bolzano; as outras duas raízes são complexas conjugadas.
Resposta
A única raiz real está isolada no intervalo
.