Para as funções abaixo, faça o isolamento dos intervalos em que as raízes estão. Para tanto, desenvolva uma tabela com valores de x, f(x) e f^{\prime}(x). Justifique porque os intervalos escolhidos têm uma raiz, e só uma raiz, e não desenvolva as respostas pelo método gráfico.
f(x)=x^{3}-2 x^{2}+x-3;

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede:
  • Isolar intervalos nos quais as raízes estão;
  • Desenvolver uma tabela com valores de x, f(x) e f'(x);
  • Justificar por que cada intervalo escolhido contém uma raiz e por que contém apenas uma raiz;
  • Não usar argumento gráfico.
Informações relevantes fornecidas:
  • f(x)=x^{3}-2x^{2}+x-3.
    Tarefa principal: encontrar intervalos nos quais existam as raízes reais de f e provar existência e unicidade nessas regiões usando valores de f e de f'.

Passo 2

Calcular a derivada e os pontos críticos (esses dados serão úteis para analisar monotonicidade).
f'(x)=3x^{2}-4x+1.
Resolver f'(x)=0. O discriminante é
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot3\cdot1=16-12=4.
As raízes de f' são
x=\frac{4\pm\sqrt{4}}{2\cdot3}=\frac{4\pm2}{6}.
Logo
x_{1}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},\qquad x_{2}= \frac{6}{6}=1.
Interpretação de monotonicidade (política rápida):
  • Como f' é um polinómio quadrático com coeficiente líder positivo, f'(x)>0 para x<\tfrac{1}{3} e para x>1, e f'(x)<0 para \tfrac{1}{3}<x<1.
  • Portanto f é crescente em (-\infty,\tfrac{1}{3}), decrescente em (\tfrac{1}{3},1) e crescente em (1,\infty).

Passo 3

Construir a tabela com valores representativos (vou calcular passo a passo cada entrada para você poder reproduzir em prova). Vou incluir pontos nos extremos, nos pontos críticos e na vizinhança onde suspeitamos a raiz real.
Tabela: linhas com x, f(x) e f'(x).
\begin{array}{c|c|c} x & f(x) & f'(x)\\hline -1 & (-1)^{3}-2(-1)^{2}+(-1)-3 = -1-2-1-3 = -7 & 3(-1)^{2}-4(-1)+1 = 3+4+1 = 8\\[6pt] 0 & 0-0+0-3 = -3 & 0-0+1=1\\[6pt] \tfrac{1}{3} & \displaystyle \left(\tfrac{1}{3}\right)^{3}-2\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}+\tfrac{1}{3}-3 = \displaystyle -\tfrac{77}{27}\approx -2,8519 & 0\\[10pt] 1 & 1-2+1-3 = -3 & 0\\[6pt] 2 & 8-8+2-3 = -1 & 3\cdot4-8+1 = 12-8+1 =5\\[6pt] 2,1 & 2{,}1^{3}-2\cdot2{,}1^{2}+2{,}1-3 = 9{,}261-8{,}82+2{,}1-3 = -0{,}459 & 3\cdot(2{,}1)^{2}-4\cdot2{,}1+1 = 13{,}23-8{,}4+1=5{,}83\\[6pt] 2,17 & 2{,}17^{3}-2\cdot2{,}17^{2}+2{,}17-3 = 10{,}218313-9{,}4178+2{,}17-3 \approx -0{,}029487 & 3\cdot(2{,}17)^{2}-4\cdot2{,}17+1 = 3\cdot4{,}7089-8{,}68+1 \approx 14{,}1267-8{,}68+1\approx6{,}4467\\[6pt] 2,18 & 2{,}18^{3}-2\cdot2{,}18^{2}+2{,}18-3 \approx 10{,}360232-9{,}5048+2{,}18-3 \approx 0{,}035432 & 3\cdot(2{,}18)^{2}-4\cdot2{,}18+1 \approx 3\cdot4{,}7524-8{,}72+1\approx6{,}5368\\[6pt] 2,2 & 10{,}648-9{,}68+2{,}2-3 = 0{,}168 & \text{(já positivo, similar aos anteriores)} \end{array}á
Observações das contas (para você replicar facilmente):
  • Em x=\tfrac{1}{3} e x=1 obtivemos f(\tfrac{1}{3})=-\tfrac{77}{27} e f(1)=-3: ambos negativos.
  • Em x=2{,}17 temos f(2{,}17)\approx -0{,}029487 (ligeiramente negativo).
  • Em x=2{,}18 temos f(2{,}18)\approx 0{,}035432 (ligeiramente positivo).
  • Para todos os x listados acima maiores que 1 (por exemplo x=2,2), f'(x)>0 (derivada positiva).]

Passo 4

Justificar existência de uma raiz no intervalo escolhido:
  • Pelo Teorema do Valor Intermediário (Bolzano): se f(a) e f(b) têm sinais opostos e f é contínua (polinômio é contínuo), então existe c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.
  • Da tabela temos f(2{,}17)\approx -0{,}029487<0 e f(2{,}18)\approx 0{,}035432>0. Como f é contínua, existe pelo menos uma raiz em (2{,}17,\,2{,}18).
Justificar unicidade da raiz nesse intervalo:
  • Em (2{,}17,2{,}18) temos x>1, e já mostramos que para x>1 vale f'(x)>0. Portanto f é estritamente crescente em todo o intervalo (1,\infty), e em particular em (2{,}17,2{,}18).
  • Uma função estritamente crescente só pode trocar de sinal uma única vez: se f é estritamente monotona e contínua, uma vez que cruza o zero não pode voltar a cruzar. Assim dentro de (2{,}17,2{,}18) há exatamente uma raiz.
Justificar que não existem outras raízes reais fora desse intervalo:
  • Uma cúbica com coeficiente líder positivo satisfaz \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty e \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty, logo pelo menos uma raiz real existe. Para que existam três raízes reais distintas, os extremos locais (máximo local e mínimo local) devem ter sinais opostos (isto permite duas trocas de sinal).
  • Os pontos críticos de f são x=\tfrac{1}{3} (máximo local) e x=1 (mínimo local). Calculamos f(\tfrac{1}{3})=-\tfrac{77}{27}<0 e f(1)=-3<0. Ambos os extremos são negativos, ou seja, a cúpula e a vala locais ficam abaixo do eixo x. Portanto a curva do polinômio só pode cruzar o eixo x uma vez (pois nos extremos não há troca de sinal), logo existe exatamente uma raiz real no total.
  • Conclusão: existe uma e somente uma raiz real, e ela está localizada no intervalo (2{,}17,\,2{,}18) que encontramos por Bolzano; as outras duas raízes são complexas conjugadas.

Resposta

A única raiz real está isolada no intervalo (2{,}17,\,2{,}18).

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