Para as funções abaixo, faça o isolamento dos intervalos em que as raízes estão. Para tanto, desenvolva uma tabela com valores de
e
. Justifique porque os intervalos escolhidos têm uma raiz, e só uma raiz, e não desenvolva as respostas pelo método gráfico.
;
Passo 1
O enunciado pede: isolar em intervalos os pontos em que
tem raízes, mostrando esses intervalos com uma tabela de valores de
,
e
. Deve-se justificar porque cada intervalo contém uma raiz e por que contém só uma raiz (sem recorrer a método gráfico). As informações dadas são apenas a expressão da função
.
Passo 2
Calcular a derivada e os pontos críticos — isso irá aparecer na tabela:
Os pontos críticos são as soluções de
:
Esses valores são aproximadamente
.
Breve explicação (didática): se num intervalo,
é crescente ali; se
,
é decrescente ali. Isso é útil para garantir unicidade de raiz em intervalos onde o sinal de
não muda.
Breve explicação (didática): se
Passo 3
Montar uma tabela com pontos úteis e calcular
e
em cada um. Vou mostrar as contas para cada ponto e, em seguida, listar os resultados.
Cálculos (passo a passo, com vírgula decimal):
-
-
-
(ponto crítico, aproximadamente ):
-
-
-
-
(ponto crítico, aproximadamente ):
Agora a tabela (cada linha:
,
,
):
Passo 4
Existência das raízes (teorema do valor intermediário). Observando sinais de
em pares de pontos:
-
e . Como é polinômio (portanto contínua), o Teorema do Valor Intermediário garante existência de tal que . Logo há pelo menos uma raiz em . -
e . Pelo mesmo teorema existe com . Logo há pelo menos uma raiz em . -
e . Pelo Teorema do Valor Intermediário existe com . Logo há pelo menos uma raiz em .
Portanto foram encontradas três mudanças de sinal, dando três raízes reais (uma em cada intervalo acima).
Passo 5
Unicidade da raiz em cada intervalo (uso da monotonicidade a partir de
):
-
No intervalo
temos (porque ali). Assim é estritamente crescente em todo . O intervalo está contido em (pois ), então é crescente em . Uma função estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz nesse intervalo; como já provamos que existe pelo menos uma raiz, concluímos que existe exatamente uma raiz em . -
No intervalo
tem-se (porque ali). Logo é estritamente decrescente nesse intervalo. O intervalo está contido em , portanto é estritamente decrescente em . Assim há no máximo uma raiz em ; com a existência já demonstrada, concluímos que existe exatamente uma raiz em . -
No intervalo
tem-se , logo é estritamente crescente. O zero cuja existência foi garantida está em , que está contido nesse intervalo de crescimento; portanto há no máximo uma raiz em . Com a existência garantida, concluímos que existe exatamente uma raiz em .
Assim cada intervalo escolhido contém uma e só uma raiz. Observação útil para a prova: não foi usado gráfico; usou-se continuidade (IVT) para garantir existência e sinal de
para garantir unicidade por monotonicidade.