Para as funções abaixo, faça o isolamento dos intervalos em que as raízes estão. Para tanto, desenvolva uma tabela com valores de x, f(x) e f^{\prime}(x). Justifique porque os intervalos escolhidos têm uma raiz, e só uma raiz, e não desenvolva as respostas pelo método gráfico.
f(x)=x^{3}-4 x+1;

Passo 1

O enunciado pede: isolar em intervalos os pontos em que f(x)=x^{3}-4x+1 tem raízes, mostrando esses intervalos com uma tabela de valores de x, f(x) e f^{\prime}(x). Deve-se justificar porque cada intervalo contém uma raiz e por que contém só uma raiz (sem recorrer a método gráfico). As informações dadas são apenas a expressão da função f.

Passo 2

Calcular a derivada e os pontos críticos — isso irá aparecer na tabela:
f(x)=x^{3}-4x+1, \qquad f'(x)=3x^{2}-4.
Os pontos críticos são as soluções de f'(x)=0:
3x^{2}-4=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=\frac{4}{3}\quad\Rightarrow\quad x=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}.
Esses valores são aproximadamente \pm\frac{2}{\sqrt{3}}\approx\pm1,1547.
Breve explicação (didática): se f'\!>\!0 num intervalo, f é crescente ali; se f'\!<\!0, f é decrescente ali. Isso é útil para garantir unicidade de raiz em intervalos onde o sinal de f' não muda.

Passo 3

Montar uma tabela com pontos úteis e calcular f(x) e f'(x) em cada um. Vou mostrar as contas para cada ponto e, em seguida, listar os resultados.
Cálculos (passo a passo, com vírgula decimal):
  • x=-3: f(-3)=(-3)^{3}-4(-3)+1=-27+12+1=-14, \qquad f'(-3)=3\cdot(-3)^{2}-4=3\cdot9-4=27-4=23.
  • x=-2: f(-2)=(-8)-4(-2)+1=-8+8+1=1, \qquad f'(-2)=3\cdot4-4=12-4=8.
  • x=-\dfrac{2}{\sqrt{3}} (ponto crítico, aproximadamente -1,1547): f\!\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{3}-4\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)+1 \approx -1,5396+4,6188+1\approx 4,0792,
f'\!\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=0.
  • x=-1: f(-1)=(-1)^{3}-4(-1)+1=-1+4+1=4, \qquad f'(-1)=3\cdot1-4=3-4=-1.
  • x=0: f(0)=0-0+1=1, \qquad f'(0)=3\cdot0-4=-4.
  • x=1: f(1)=1-4+1=-2, \qquad f'(1)=3\cdot1-4=3-4=-1.
  • x=\dfrac{2}{\sqrt{3}} (ponto crítico, aproximadamente 1,1547): f\!\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{3}-4\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)+1 \approx 1,5396-4,6188+1\approx -2,0792,
f'\!\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=0.
  • x=2: f(2)=8-8+1=1, \qquad f'(2)=3\cdot4-4=12-4=8.
Agora a tabela (cada linha: x, f(x), f'(x)):
\begin{array}{lcl} x & f(x) & f'(x)\\[4pt] -3 & -14 & 23\\[4pt] -2 & 1 & 8\\[4pt] -\dfrac{2}{\sqrt{3}}\\ (\approx -1,1547) & \approx 4,0792 & 0\\[4pt] -1 & 4 & -1\\[4pt] 0 & 1 & -4\\[4pt] 1 & -2 & -1\\[4pt] \dfrac{2}{\sqrt{3}}\\ (\approx 1,1547) & \approx -2,0792 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 8 \end{array}]

Passo 4

Existência das raízes (teorema do valor intermediário). Observando sinais de f(x) em pares de pontos:
  • f(-3)=-14<0 e f(-2)=1>0. Como f é polinômio (portanto contínua), o Teorema do Valor Intermediário garante existência de c\in(-3,-2) tal que f\text{(c)}=0. Logo há pelo menos uma raiz em (-3,-2).
  • f(0)=1>0 e f(1)=-2<0. Pelo mesmo teorema existe c\in(0,1) com f\text{(c)}=0. Logo há pelo menos uma raiz em (0,1).
  • f\!\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)\approx-2,0792<0 e f(2)=1>0. Pelo Teorema do Valor Intermediário existe c\in\!\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}},2\right) com f\text{(c)}=0. Logo há pelo menos uma raiz em \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}},2\right).
Portanto foram encontradas três mudanças de sinal, dando três raízes reais (uma em cada intervalo acima).

Passo 5

Unicidade da raiz em cada intervalo (uso da monotonicidade a partir de f'):
  • No intervalo (-\infty,-\tfrac{2}{\sqrt{3}}) temos f'(x)=3x^{2}-4>0 (porque x^{2}>\tfrac{4}{3} ali). Assim f é estritamente crescente em todo (-\infty,-\tfrac{2}{\sqrt{3}}). O intervalo (-3,-2) está contido em (-\infty,-\tfrac{2}{\sqrt{3}}) (pois -2<-\tfrac{2}{\sqrt{3}}\approx-1,1547), então f é crescente em (-3,-2). Uma função estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz nesse intervalo; como já provamos que existe pelo menos uma raiz, concluímos que existe exatamente uma raiz em (-3,-2).
  • No intervalo (-\tfrac{2}{\sqrt{3}},\tfrac{2}{\sqrt{3}}) tem-se f'(x)=3x^{2}-4<0 (porque x^{2}<\tfrac{4}{3} ali). Logo f é estritamente decrescente nesse intervalo. O intervalo (0,1) está contido em (-\tfrac{2}{\sqrt{3}},\tfrac{2}{\sqrt{3}}), portanto f é estritamente decrescente em (0,1). Assim há no máximo uma raiz em (0,1); com a existência já demonstrada, concluímos que existe exatamente uma raiz em (0,1).
  • No intervalo (\tfrac{2}{\sqrt{3}},\infty) tem-se f'(x)>0, logo f é estritamente crescente. O zero cuja existência foi garantida está em \left(\tfrac{2}{\sqrt{3}},2\right), que está contido nesse intervalo de crescimento; portanto há no máximo uma raiz em \left(\tfrac{2}{\sqrt{3}},2\right). Com a existência garantida, concluímos que existe exatamente uma raiz em \left(\tfrac{2}{\sqrt{3}},2\right).
Assim cada intervalo escolhido contém uma e só uma raiz. Observação útil para a prova: não foi usado gráfico; usou-se continuidade (IVT) para garantir existência e sinal de f' para garantir unicidade por monotonicidade.

Resposta

(-3,-2)
(0,1)
\displaystyle\left(\frac{2}{\sqrt{3}},2\right)

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