Para as funções abaixo, faça o isolamento dos intervalos em que as raízes estão. Para tanto, desenvolva uma tabela com valores de x, f(x) e f^{\prime}(x). Justifique porque os intervalos escolhidos têm uma raiz, e só uma raiz, e não desenvolva as respostas pelo método gráfico.
f(x)=\cos (x)-x;

Passo 1

O enunciado pede: isolar os intervalos nos quais as raízes da função f estão, construindo uma tabela com valores de x, f(x) e f'(x). Também pede justificar por que os intervalos escolhidos têm uma raiz e por que cada um contém somente uma raiz. A função dada é
f(x)=\cos(x)-x.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função f está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Deve-se apresentar uma tabela com colunas x,\;f(x),\;f'(x).
  • A justificativa não pode ser puramente gráfica — usar teoremas (como o Teorema do Valor Intermediário, derivadas, monotonicidade, etc.) é necessário.

Passo 2

Calcular a derivada e analisar sua sinalização (isso ajuda a provar unicidade de raízes).
A derivada é
f'(x) = \frac{d}{dx}\big(\cos x - x\big) = -\sin x - 1.
Agora observar o sinal de f'(x). Como \sin x satisfaz -1\le \sin x\le 1, temos
-\sin x -1 \le -(-1)-1 = 0
e
-\sin x -1 \ge -(1)-1 = -2.
Portanto
-2 \le f'(x) \le 0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Isto mostra que f'(x)\le 0 em toda a reta real (ou seja, f é uma função não crescente em \mathbb{R}). Além disso, f'(x)=0 somente quando \sin x=-1, ou seja em pontos isolados x = \tfrac{3\pi}{2}+2k\pi. Logo f' não é identicamente zero em nenhum intervalo não trivial; em quase todo lugar f'(x)<0.
Breve interpretação didática: se a derivada é sempre não positiva e é estritamente negativa exceto em pontos isolados, a função não aumenta e, intuitivamente, é estritamente decrescente (não pode ficar constante num intervalo de comprimento positivo). Esse fato será usado para garantir unicidade da raiz.

Passo 3

Usar o Teorema do Valor Intermediário para garantir existência de raiz em um intervalo onde f muda de sinal. Para isso precisamos de valores de f em pontos convenientemente escolhidos. Montarei uma tabela com pontos que facilitam cálculo ou aproximação simples (valores de cosseno e seno conhecidos e algumas aproximações usuais). As aproximações numéricas abaixo são conhecidas e usadas sem calculadora como referências (por exemplo \cos 1\approx 0{,}5403, \cos 0{,}5\approx 0{,}8776, \cos 0{,}7\approx 0{,}7648, \cos 0{,}8\approx 0{,}6967; \sin 0{,}7\approx 0{,}6442, \sin 0{,}8\approx 0{,}7174). A tabela requerida:
\begin{array}{c|c|c} x & f(x)=\cos x - x & f'(x)=-\sin x -1\\hline 0 & \cos 0 - 0 = 1 & -\sin 0 -1 = -1\\[4pt] 0{,}5 & \cos 0{,}5 - 0{,}5 \approx 0{,}8776 - 0{,}5 = 0{,}3776 & -\sin 0{,}5 -1 \approx -0{,}4794 -1 = -1{,}4794\\[4pt] 0{,}7 & \cos 0{,}7 - 0{,}7 \approx 0{,}7648 - 0{,}7 = 0{,}0648 & -\sin 0{,}7 -1 \approx -0{,}6442 -1 = -1{,}6442\\[4pt] 0{,}8 & \cos 0{,}8 - 0{,}8 \approx 0{,}6967 - 0{,}8 = -0{,}1033 & -\sin 0{,}8 -1 \approx -0{,}7174 -1 = -1{,}7174\\[4pt] 1 & \cos 1 - 1 \approx 0{,}5403 - 1 = -0{,}4597 & -\sin 1 -1 \approx -0{,}8415 -1 = -1{,}8415 \end{array}
Comentários sobre a tabela (didático e passo a passo):
  • Em x=0 temos f(0)=1>0.
  • Em x=0{,}5 e x=0{,}7 vemos f(x)>0 (valores decrescentes mas positivos).
  • Em x=0{,}8 e x=1 temos f(x)<0.
  • As derivadas listadas são todas negativas nesses pontos, confirmando que f está decrescendo nesses trechos.]

Passo 4

Existência da raiz em um intervalo pequeno: como f é contínua (soma de funções contínuas), o Teorema do Valor Intermediário garante que, se f(a)\cdot f(b)<0, então existe c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.
Da tabela vemos:
f(0{,}7)\approx 0{,}0648>0,\qquad f(0{,}8)\approx -0{,}1033<0.
Portanto f(0{,}7)\cdot f(0{,}8)<0, e pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em (0{,}7,\,0{,}8).
Isso já dá um isolamento razoável e pequeno da raiz. Se quisermos, repetindo o procedimento com subintervalos (por exemplo checando 0{,}73 e 0{,}74) podemos reduzir ainda mais, mas o enunciado pede apenas isolar intervalos, o que já fizemos.

Passo 5

Unicidade da raiz: justificar que há apenas uma raiz real.
Argumento com monotonicidade (passo a passo e didático):
  1. Mostramos em

Passo 6

  1. Propriedade essencial: se uma função é não crescente e atinge o mesmo valor em dois pontos a<b (isto é, f(a)=f(b)), então para todo t\in[a,b] tem-se f(t)=f(a). Em outras palavras, uma função não crescente que assume o mesmo valor nas extremidades de um intervalo é constante nesse intervalo.
  2. Suponha, por contradição, que existam duas raízes distintas a<b com f(a)=f(b)=0. Pela observação anterior, f seria constante e igual a 0 em todo [a,b]. Assim f'(x)=0 para todo x\in(a,b).
  3. Mas f'(x)= -\sin x -1 só é igual a 0 quando \sin x=-1, ou seja, somente em pontos isolados x=\tfrac{3\pi}{2}+2k\pi. Não existe nenhum intervalo de comprimento positivo em que \sin x=-1 para todos os x desse intervalo. Portanto f' não pode ser identicamente zero em (a,b).
  4. Contradição. Logo não podem existir duas raízes distintas; portanto a raiz é única.
Outra (curta) justificativa alternativa (contratída, mas útil para compreensão): como f'(x)\le0 e não é zero em todo intervalo, f é estritamente decrescente, logo cruza o eixo y=0 no máximo uma vez. Como já garantimos existência de pelo menos uma raiz em (0{,}7,0{,}8), conclui-se que esta é a única raiz real.

Passo 7

Resumo didático de como proceder numa prova (receita prática para a questão tipo prova):
  • Calcule f'(x) e cheque seu sinal para ver se a função é monotônica; isso ajuda a garantir unicidade da raiz.
  • Use pontos com valores de cosseno/seno conhecidos ou aproximações razoáveis para montar uma tabela x,\;f(x),\;f'(x).
  • Aplique o Teorema do Valor Intermediário entre dois pontos onde f muda de sinal para garantir existência de raiz naquele intervalo.
  • Combine monotonicidade (ou argumento de derivada) para garantir que não há mais de uma raiz no conjunto considerado.

Resposta

A função tem uma única raiz real, e ela está no intervalo (0{,}7,\,0{,}8).

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