Para as funções abaixo, faça o isolamento dos intervalos em que as raízes estão. Para tanto, desenvolva uma tabela com valores de
e
. Justifique porque os intervalos escolhidos têm uma raiz, e só uma raiz, e não desenvolva as respostas pelo método gráfico.
;
Passo 1
O enunciado pede: isolar os intervalos nos quais as raízes da função
estão, construindo uma tabela com valores de
,
e
. Também pede justificar por que os intervalos escolhidos têm uma raiz e por que cada um contém somente uma raiz. A função dada é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função
está definida para todo . - Deve-se apresentar uma tabela com colunas
. - A justificativa não pode ser puramente gráfica — usar teoremas (como o Teorema do Valor Intermediário, derivadas, monotonicidade, etc.) é necessário.
Passo 2
Calcular a derivada e analisar sua sinalização (isso ajuda a provar unicidade de raízes).
A derivada é
Agora observar o sinal de
. Como
satisfaz
, temos
e
Portanto
Isto mostra que
em toda a reta real (ou seja,
é uma função não crescente em
). Além disso,
somente quando
, ou seja em pontos isolados
. Logo
não é identicamente zero em nenhum intervalo não trivial; em quase todo lugar
.
Breve interpretação didática: se a derivada é sempre não positiva e é estritamente negativa exceto em pontos isolados, a função não aumenta e, intuitivamente, é estritamente decrescente (não pode ficar constante num intervalo de comprimento positivo). Esse fato será usado para garantir unicidade da raiz.
Passo 3
Usar o Teorema do Valor Intermediário para garantir existência de raiz em um intervalo onde
muda de sinal. Para isso precisamos de valores de
em pontos convenientemente escolhidos. Montarei uma tabela com pontos que facilitam cálculo ou aproximação simples (valores de cosseno e seno conhecidos e algumas aproximações usuais). As aproximações numéricas abaixo são conhecidas e usadas sem calculadora como referências (por exemplo
,
,
,
;
,
). A tabela requerida:
Comentários sobre a tabela (didático e passo a passo):
- Em
temos . - Em
e vemos (valores decrescentes mas positivos). - Em
e temos . - As derivadas listadas são todas negativas nesses pontos, confirmando que
está decrescendo nesses trechos.]
Passo 4
Existência da raiz em um intervalo pequeno: como
é contínua (soma de funções contínuas), o Teorema do Valor Intermediário garante que, se
, então existe
tal que
.
Da tabela vemos:
Portanto
, e pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em
.
Isso já dá um isolamento razoável e pequeno da raiz. Se quisermos, repetindo o procedimento com subintervalos (por exemplo checando
e
) podemos reduzir ainda mais, mas o enunciado pede apenas isolar intervalos, o que já fizemos.
Passo 5
Unicidade da raiz: justificar que há apenas uma raiz real.
Argumento com monotonicidade (passo a passo e didático):
- Mostramos em
Passo 6
- Propriedade essencial: se uma função é não crescente e atinge o mesmo valor em dois pontos
(isto é, ), então para todo tem-se . Em outras palavras, uma função não crescente que assume o mesmo valor nas extremidades de um intervalo é constante nesse intervalo. - Suponha, por contradição, que existam duas raízes distintas
com . Pela observação anterior, seria constante e igual a em todo . Assim para todo . - Mas
só é igual a quando , ou seja, somente em pontos isolados . Não existe nenhum intervalo de comprimento positivo em que para todos os desse intervalo. Portanto não pode ser identicamente zero em . - Contradição. Logo não podem existir duas raízes distintas; portanto a raiz é única.
Outra (curta) justificativa alternativa (contratída, mas útil para compreensão): como
e não é zero em todo intervalo,
é estritamente decrescente, logo cruza o eixo
no máximo uma vez. Como já garantimos existência de pelo menos uma raiz em
, conclui-se que esta é a única raiz real.
Passo 7
Resumo didático de como proceder numa prova (receita prática para a questão tipo prova):
- Calcule
e cheque seu sinal para ver se a função é monotônica; isso ajuda a garantir unicidade da raiz. - Use pontos com valores de cosseno/seno conhecidos ou aproximações razoáveis para montar uma tabela
. - Aplique o Teorema do Valor Intermediário entre dois pontos onde
muda de sinal para garantir existência de raiz naquele intervalo. - Combine monotonicidade (ou argumento de derivada) para garantir que não há mais de uma raiz no conjunto considerado.
Resposta
A função tem uma única raiz real, e ela está no intervalo
.