Use o teorema de Green para calcular integralC F cdot d r. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
F(x, y)=(raizx^2+1, arctan x), C é o triângulo de (0,0) a (1,1) a (0,1) a (0,0). pi4-ln 22

Passo 1

Vamos resolver um exercício usando o Teorema de Green. Precisamos calcular a integral de linha integralC F cdot dr, onde o campo vetorial F(x, y) = (raizx^2+1, arctan x). A curva C é um triângulo que vai de (0,0) a (1,1), depois a (0,1) e volta para (0,0). Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green nessa situação.

Passo 2

Primeiro, é importante verificar a orientação da curva C. O Teorema de Green requer que a curva esteja orientada no sentido anti-horário (sentido positivo). No nosso caso, o triângulo vai de (0,0) a (1,1) para (0,1) e de volta a (0,0), seguindo um movimento anti-horário. Então, estamos prontos para aplicar o teorema.

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes do campo vetorial F. Temos:
F(x, y) = (P, Q) = (raizx^2+1, arctan x)
Segundo o Teorema de Green, a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região D delimitada por C:
integralC P , dx + Q , dy = integral duplaD (partial Qpartial x - partial Ppartial y) dA

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = ddx (arctan x) = 11 + x^2
partial Ppartial y = ddy (raizx^2+1) = 0
Portanto, a expressão dentro da integral dupla fica:
11 + x^2 - 0 = 11 + x^2

Passo 5

Agora, vamos configurar a integral dupla sobre a região D, que é o triângulo com vértices em (0,0), (1,1) e (0,1). Podemos integrar em x de 0 a y e em y de 0 a 1:
integral duplaD 11 + x^2 , dx , dy = integral0^1 ( integral0^y 11 + x^2 , dx ) dy
Primeiro, calculamos a integral interna:
integral0^y 11 + x^2 , dx = arctan y - arctan 0 = arctan y
Então, a integral dupla fica:
integral0^1 arctan y , dy

Passo 6

Para calcular integral arctan y , dy, usamos a técnica de integração por partes. Seja u = arctan y e dv = dy. Então, du = 11 + y^2 dy e v = y. Aplicando a integração por partes:
integral arctan y , dy = y arctan y - integral y1 + y^2 , dy
A segunda integral pode ser resolvida com uma substituição simples. Seja w = 1 + y^2, então dw = 2y , dy, ou seja, dw2 = y , dy. Assim:
integral y1 + y^2 , dy = 12 ln(1 + y^2) + C
Portanto:
integral arctan y , dy = y arctan y - 12 ln(1 + y^2) + C
Agora, avaliamos de 0 a 1:
Para y = 1:
1 cdot arctan 1 - 12 ln 2 = pi4 - ln 22
Para y = 0:
0 cdot arctan 0 - 12 ln 1 = 0
Então, a integral total é:
pi4 - ln 22

Resposta

pi4 - ln 22

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