Use o teorema de Green para calcular
. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
,
é o triângulo de
a
a
a
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício usando o Teorema de Green. Precisamos calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial
. A curva
é um triângulo que vai de
a
, depois a
e volta para
. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green nessa situação.
Passo 2
Primeiro, é importante verificar a orientação da curva
. O Teorema de Green requer que a curva esteja orientada no sentido anti-horário (sentido positivo). No nosso caso, o triângulo vai de
a
para
e de volta a
, seguindo um movimento anti-horário. Então, estamos prontos para aplicar o teorema.
Passo 3
Agora, vamos identificar as componentes do campo vetorial
. Temos:
Segundo o Teorema de Green, a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região
delimitada por
:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Portanto, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 5
Agora, vamos configurar a integral dupla sobre a região
, que é o triângulo com vértices em
,
e
. Podemos integrar em
de
a
e em
de
a
:
Primeiro, calculamos a integral interna:
Então, a integral dupla fica:
Passo 6
Para calcular
, usamos a técnica de integração por partes. Seja
e
. Então,
e
. Aplicando a integração por partes:
A segunda integral pode ser resolvida com uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
. Assim:
Portanto:
Agora, avaliamos de
a
:
Para
:
Para
:
Então, a integral total é: