Utilizando a definição de diferenciabilidade, prove que as funções abaixo indicadas são diferenciáveis nos respectivos domínios:
f(x, y)=3 x^2-2 x y+5 y^2,

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis, . A missão é mostrar que essa função é diferenciável em todo o seu domínio. Para isso, vamos usar a definição de diferenciabilidade, que basicamente envolve verificar se as derivadas parciais existem e se elas são contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de fx = partial fpartial x = 6x - 2y em relação a fy = partial fpartial y = -2x + 10y e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos observar se essas derivadas parciais existem para todos os valores de e . Como e são expressões polinomiais, elas estão bem definidas para qualquer e em .

Passo 4

Segundo a definição de diferenciabilidade, uma função é diferenciável se todas as suas derivadas parciais existem e são contínuas no domínio considerado.

Passo 5

Como vimos, as derivadas parciais e são polinomiais. Polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio, ou seja, elas não têm queixas de “saltos” ou “buracos”.

Passo 6

Já que as derivadas parciais de existem e são contínuas em todo , podemos concluir, pela definição de diferenciabilidade, que a função é diferenciável em todo o seu domínio.

Resposta

A função é diferenciável em todo o seu domínio.

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