Utilizando a definição de diferenciabilidade, prove que as funções abaixo indicadas são diferenciáveis nos respectivos domínios:
,
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis,
. A missão é mostrar que essa função é diferenciável em todo o seu domínio. Para isso, vamos usar a definição de diferenciabilidade, que basicamente envolve verificar se as derivadas parciais existem e se elas são contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos observar se essas derivadas parciais existem para todos os valores de
e
. Como
e
são expressões polinomiais, elas estão bem definidas para qualquer
e
em
.
Passo 4
Segundo a definição de diferenciabilidade, uma função é diferenciável se todas as suas derivadas parciais existem e são contínuas no domínio considerado.
Passo 5
Como vimos, as derivadas parciais
e
são polinomiais. Polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio, ou seja, elas não têm queixas de “saltos” ou “buracos”.
Passo 6
Já que as derivadas parciais de
existem e são contínuas em todo
, podemos concluir, pela definição de diferenciabilidade, que a função
é diferenciável em todo o seu domínio.
Resposta
A função
é diferenciável em todo o seu domínio.