Para as funções abaixo indicadas, obtenha os respectivos domínios e utilizando as condições suficientes vistas em aula, prove que as mesmas são diferenciáveis (nos domínios em questão):
f(x, y)=y ln x-x / y,

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função f(x,y)=yln x - xy. O objetivo é determinar seu domínio e provar que é diferenciável usando condições suficientes (soma, produto e composição de funções C^1).

Passo 2

Para determinar o domínio, observamos que o termo ln x exige x>0 e o termo xy exige yneq0.
D = (x,y)inR^2 mid x>0,; yneq0

Passo 3

Agora, note que ln x é C^\infty em (0,infty) e a função ymapsto1/y é C^\infty em Rsetminus0. Como soma, produto e composição de funções C^1 preservam a classe C^1, concluímos que f é C^1 (na verdade C^\infty) em D e, portanto, diferenciável.

Passo 4

Para reforçar, calculamos as derivadas parciais e verificamos continuidade.
Derivando em x:
partial fpartial x(x,y) = yx - 1y
Derivando em y:
partial fpartial y(x,y) = ln x + xy^2
Como ambas as derivadas são contínuas em D, temos fin C^1(D).

Resposta

O domínio é D = (x,y)inR^2 mid x>0,; yneq0 e, por ser combinação de funções C^1 (soma, produto e composição), fin C^1(D), logo diferenciável em todo esse domínio.

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