Para as funções abaixo indicadas, obtenha os respectivos domínios e utilizando as condições suficientes vistas em aula, prove que as mesmas são diferenciáveis (nos domínios em questão):
,
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a função
. O objetivo é determinar seu domínio e provar que é diferenciável usando condições suficientes (soma, produto e composição de funções C^1).
Passo 2
Para determinar o domínio, observamos que o termo
exige
e o termo
exige
.
Passo 3
Agora, note que
é C^\infty em
e a função
é C^\infty em
. Como soma, produto e composição de funções C^1 preservam a classe C^1, concluímos que
é C^1 (na verdade C^\infty) em
e, portanto, diferenciável.
Passo 4
Para reforçar, calculamos as derivadas parciais e verificamos continuidade.
Derivando em
:
Derivando em
:
Como ambas as derivadas são contínuas em
, temos
.
Resposta
O domínio é
e, por ser combinação de funções C^1 (soma, produto e composição),
, logo diferenciável em todo esse domínio.