Para as funções abaixo indicadas, obtenha os respectivos domínios e utilizando as condições suficientes vistas em aula, prove que as mesmas são diferenciáveis (nos domínios em questão):
,
Passo 1
Estamos com a função
. O conteúdo envolve domínio de funções compostas (arctan e raiz) e uso de condições suficientes de diferenciabilidade (derivadas parciais contínuas).
Passo 2
Para achar o domínio, observe que dentro de
podemos ter qualquer real, mas na expressão
precisamos que o radicando seja estritamente positivo. Logo
Passo 3
Portanto o domínio é
Passo 4
Para provar que
é diferenciável em
, note que podemos escrever
[g(x,y)=x^2-y,\quad \phi_1(t)=\arctan(t),\quad \phi_2(t)=t^{-1/2}."]
Passo 5
A função
é polinomial (logo
em
) e
,
são
em seus domínios (para
é preciso
). Como
, as composições
e
são
em
.
Funções (ou
) têm derivadas parciais contínuas, o que é condição suficiente para diferenciabilidade. Logo
é diferenciável em todo
.
Funções
Resposta
O domínio é
e
é diferenciável em todo esse domínio.