Para as funções abaixo indicadas, obtenha os respectivos domínios e utilizando as condições suficientes vistas em aula, prove que as mesmas são diferenciáveis (nos domínios em questão):
f(x, y)=arctan (x^2-y)+1raizx^2-y,

Passo 1

Estamos com a função f(x,y)=arctanl(x^2 - yr) + 1raizx^2 - y. O conteúdo envolve domínio de funções compostas (arctan e raiz) e uso de condições suficientes de diferenciabilidade (derivadas parciais contínuas).

Passo 2

Para achar o domínio, observe que dentro de arctan(cdot) podemos ter qualquer real, mas na expressão tfrac1raizx^2 - y precisamos que o radicando seja estritamente positivo. Logo
x^2 - y > 0

Passo 3

Portanto o domínio é
D = (x,y)in R^2:;x^2 - y > 0

Passo 4

Para provar que f é diferenciável em D, note que podemos escrever
[g(x,y)=x^2-y,\quad \phi_1(t)=\arctan(t),\quad \phi_2(t)=t^{-1/2}."]

Passo 5

A função g é polinomial (logo C^infty em R^2) e phi1, phi2 são C^infty em seus domínios (para phi2 é preciso t>0). Como g(D)subset(0,infty), as composições phi1circ g e phi2circ g são C^infty em D.
Funções C^1 (ou C^infty) têm derivadas parciais contínuas, o que é condição suficiente para diferenciabilidade. Logo f é diferenciável em todo D.

Resposta

O domínio é D=(x,y)in R^2: x^2-y>0 e f é diferenciável em todo esse domínio.

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