Use o teorema de Green para calcular integralC F cdot d r. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
F(x, y)=(y-cos y, x sin y), C é o círculo (x-3)^2+(y+4)^2=4 orientado no sentido horário. Resp: 4 pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral de linha ointC Fcdot dr, onde F(x,y)=(y-cos y,,xsin y) e C é o círculo de centro (3,-4) e raio 2 orientado no sentido horário. O conteúdo aqui é o Teorema de Green, que relaciona um integral de linha ao integral duplo do “rotacional” de F sobre a região D delimitada por C.

Passo 2

Como o Teorema de Green requer que a curva seja percorrida no sentido anti-horário (orientação positiva), mas C foi dada no sentido horário (orientação negativa), a integral de linha original satisfaz
ointCFcdot dr= -ointC^+Fcdot dr,
onde C^+ é C com orientação positiva.

Passo 3

Precisamos calcular o “rotacional” de F: escrevendo F=(P,Q) com P=y-cos y e Q=xsin y, temos
partial Qpartial x=sin y, partial Ppartial y=1+sin y
Logo
partial Qpartial x-partial Ppartial y=sin y-(1+sin y)=-1

Passo 4

Pelo Teorema de Green,
ointC^+Fcdot dr=integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA =integral duplaD(-1),dA,
e portanto
ointCFcdot dr=-integral duplaD(-1),dA=integral duplaD1,dA

Passo 5

A região D é um disco de raio 2, cuja área é pitimes2^2=4pi. Logo
ointCFcdot dr=4pi

Resposta

4\pi

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