Use o teorema de Green para calcular
. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
,
é o círculo
orientado no sentido horário. Resp:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o integral de linha
, onde
e
é o círculo de centro
e raio
orientado no sentido horário. O conteúdo aqui é o Teorema de Green, que relaciona um integral de linha ao integral duplo do “rotacional” de
sobre a região
delimitada por
.
Passo 2
Como o Teorema de Green requer que a curva seja percorrida no sentido anti-horário (orientação positiva), mas
foi dada no sentido horário (orientação negativa), a integral de linha original satisfaz
onde
é
com orientação positiva.
Passo 3
Precisamos calcular o “rotacional” de
: escrevendo
com
e
, temos
Logo
Passo 4
Pelo Teorema de Green,
e portanto
Passo 5
A região
é um disco de raio
, cuja área é
. Logo
Resposta
4\pi