Seja f: R^2 R definida por
f(x, y)= (4 x^3+5 y^3)x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Calcule fx(0,0) e fy(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função f(x, y)= 4x^3 + 5y^3x^2 + y^2, & se (x, y) neq (0,0) 0, & se (x, y) = (0,0) definida por:
O objetivo aqui é calcular as derivadas parciais e . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais no ponto, que mede como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h no ponto fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0)h , ou seja, f(h, 0) = 4h^3 + 5(0)^3h^2 + 0^2 = 4h^3h^2 = 4h . A definição de derivada parcial é:
fx(0,0) = limh to 0 4hh = limh to 0 4 = 4
Sabemos que , então fica:
Agora, vamos calcular quando :
Substituindo na expressão da derivada:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k no ponto fy(0,0) = limk to 0 f(0, k)k , ou seja, f(0, k) = 4(0)^3 + 5k^30^2 + k^2 = 5k^3k^2 = 5k . Usamos a definição similar:
fy(0,0) = limk to 0 5kk = limk to 0 5 = 5
Como , temos:
Calculando quando :
Substituindo na expressão da derivada:

Resposta

Portanto, as derivadas parciais no ponto fx(0,0) = 4 e fy(0,0) = 5 são:

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