Utilizando derivação usual, para as funções f: R^2 R a seguir indicadas obtenha
partial f(x, y)partial x
e
partial f(x, y)partial y
f(x, y)=e^xy^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função de duas variáveis, , e nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a e a . Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra da cadeia, que é super útil quando estamos lidando com funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial x = e^xy^2+1 cdot partialpartial x( xy^2+1 ) em relação a partialpartial x( xy^2+1 ) = 1y^2+1 , ou seja, partial fpartial x = e^xy^2+1 cdot 1y^2+1 .
A função é uma função exponencial onde o expoente é uma função de e . Para derivar isso em relação a , usamos a regra da cadeia:
Agora, derivamos o expoente em relação a :
Então, substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = e^xy^2+1 cdot partialpartial y( xy^2+1 ) em relação a partialpartial y( xy^2+1 ) = x cdot partialpartial y( y^2+1 )^-1 , ou seja, partialpartial y( y^2+1 )^-1 = -1 cdot ( y^2+1 )^-2 cdot 2y = -2y(y^2+1)^2 .
Mais uma vez, usamos a regra da cadeia:
partial fpartial y = e^xy^2+1 cdot ( -2xy(y^2+1)^2 )
Vamos derivar o expoente em relação a :
Usando a regra da potência:
Então,

Resposta

As derivadas parciais da função partial fpartial x = e^xy^2+1y^2+1 são:
partial fpartial y = - 2xy cdot e^xy^2+1(y^2+1)^2
e

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