Qual das funções abaixo possui os coeficiente da parte cosseno igual a zero e quais possui os coeficientes em relação a seno igual a zero?
-1, & -pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta qual das funções apresentadas tem os coeficientes da parte do cosseno iguais a zero e quais têm os coeficientes da parte do seno iguais a zero. A função que vamos analisar é:
f(x)= -1, & -pi < x < 0 1, & 0 <= x < pi
Para resolver isso, vamos utilizar a série de Fourier, que decompõe funções periódicas em somas de senos e cossenos. Precisamos calcular os coeficientes de Fourier e ver quais são iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função periódica $ f(x) $ com período $ 2\pi $ pode ser expressa como:
f(x)
Onde:
  • $ a_0 $ é o termo constante.
  • $ a_n $ são os coeficientes dos cossenos.
  • $ b_n $ são os coeficientes dos senos.
Nosso objetivo é encontrar $ a_n $ e $ b_n $ para a função dada e identificar quais deles são zero.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente $ a_0 $, que é dado por:
a0
Substituindo a função $ f(x) $:
a0 = 12pi integral-pi^pi f(x) , dx
Calculando as integrais:
f(x)
Então, $ a_0 = 0 $.

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $, que são dados por:
an
Substituindo $ f(x) $:
an = 1pi integral-pi^pi f(x) cos(nx) , dx
Como a função $ f(x) $ é ímpar ($ f(-x) = -f(x) $) e $ \cos(nx) $ é uma função par ($ \cos(-nx) = \cos(nx) $), o produto $ f(x)\cos(nx) $ será uma função ímpar. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Portanto:
f(x)

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes $ b_n $, que são dados por:
bn
Substituindo $ f(x) $:
bn = 1pi integral-pi^pi f(x) sin(nx) , dx
Como $ f(x) $ é ímpar e $ \sin(nx) $ também é ímpar, o produto $ f(x)\sin(nx) $ será uma função par. Então, podemos simplificar a integral:
f(x)
Substituindo $ f(x) = 1 $ para $ 0 \leq x < \pi $:
bn = 1pi ( integral-pi^0 (-1) sin(nx) , dx + integral0^pi 1 sin(nx) , dx )
Simplificando:
f(x)
Portanto, os coeficientes $ b_n $ são diferentes de zero para valores ímpares de $ n $.

Resposta

A função dada possui todos os coeficientes da parte do cosseno iguais a zero ($ a_n = 0 an = 0 b_n \neq 0 $). Ou seja:
  • Coeficientes de cosseno igual a zero.
  • Coeficientes de seno diferentes de zero.

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