Qual das funções abaixo possui os coeficiente da parte cosseno igual a zero e quais possui os coeficientes em relação a seno igual a zero?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta qual das funções apresentadas tem os coeficientes da parte do cosseno iguais a zero e quais têm os coeficientes da parte do seno iguais a zero. A função que vamos analisar é:
Para resolver isso, vamos utilizar a série de Fourier, que decompõe funções periódicas em somas de senos e cossenos. Precisamos calcular os coeficientes de Fourier e ver quais são iguais a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função periódica $ f(x) $ com período $ 2\pi $ pode ser expressa como:
Onde:
- $ a_0 $ é o termo constante.
- $ a_n $ são os coeficientes dos cossenos.
- $ b_n $ são os coeficientes dos senos.
Nosso objetivo é encontrar $ a_n $ e $ b_n $ para a função dada e identificar quais deles são zero.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente $ a_0 $, que é dado por:
Substituindo a função $ f(x) $:
Calculando as integrais:
Então, $ a_0 = 0 $.
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $, que são dados por:
Substituindo $ f(x) $:
Como a função $ f(x) $ é ímpar ($ f(-x) = -f(x) $) e $ \cos(nx) $ é uma função par ($ \cos(-nx) = \cos(nx) $), o produto $ f(x)\cos(nx) $ será uma função ímpar. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes $ b_n $, que são dados por:
Substituindo $ f(x) $:
Como $ f(x) $ é ímpar e $ \sin(nx) $ também é ímpar, o produto $ f(x)\sin(nx) $ será uma função par. Então, podemos simplificar a integral:
Substituindo $ f(x) = 1 $ para $ 0 \leq x < \pi $:
Simplificando:
Portanto, os coeficientes $ b_n $ são diferentes de zero para valores ímpares de $ n $.
Resposta
A função dada possui todos os coeficientes da parte do cosseno iguais a zero ($ a_n = 0
b_n \neq 0 $). Ou seja:
- Coeficientes de cosseno igual a zero.
- Coeficientes de seno diferentes de zero.