Para as funções abaixo
  1. f(x)=x^2-6 xx^2-3
  2. f(x)=e^x1-e^x
  3. f(x)=raizx^2+3
  4. f(x)=2 x^3-2 x^53
    faça o que se pede
    (a) Determine o domínio.
    (b) Encontre os valores que interceptam os eixos x e y.
    (c) Encontre as assíntotas verticais e horizontais.
    (d) Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
    (e) Encontre os valores máximos e mínimos locais.
    (f) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
    (g) Use a informação das partes (a)-(d) para esboçar o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado pede uma análise completa de quatro funções elementares: domínio, interceptos, assíntotas, monotonicidade e extremos locais, concavidade e pontos de inflexão, além de esboço de gráfico. Para isso vamos usar conceitos de álgebra de funções (domínio, zeros, assíntotas), derivadas primeira e segunda (crescimento, extremos e curvatura) e limites no infinito.

Passo 2

Análise de f1(x)=x^2-6xx^2-3:
– Domínio: impedir divisão por zero em x^2-3=0, logo
Dom(f1)=xinRmid xneqpmraiz3
– Interceptos:
  • Eixo x: x^2-6x=0implies x(x-6)=0implies x=0,6. Como 0,6neqpmraiz3, temos pontos (0,0) e (6,0).
  • Eixo y: em x=0, f1(0)=0, reconfirmando (0,0).
    – Assíntotas verticais: em x=pmraiz3.
    – Assíntota horizontal:
limxtopminftyf1(x)=limxtopminftyx^2(1-6/x)x^2(1-3/x^2)=1,
logo reta y=1.

Passo 3

Monotonicidade e extremos de f1:
Calculemos
f1'(x) =(2x-6)(x^2-3)-(x^2-6x),2x(x^2-3)^2 =6l(x^2-x+3r)(x^2-3)^2
O discriminante de x^2-x+3 é De<a=1-12<0, logo x^2-x+3>0 para todo x. E (x^2-3)^2>0 no domínio. Assim
f1'(x)>0forall xneqpmraiz3,
isto é, f1 é estritamente crescente em cada intervalo de domínio e não possui máximos nem mínimos locais.

Passo 4

Concavidade e inflexão de f1:
Derivando de novo obtemos
f1''(x) =(12x-6)(x^2-3)^2-6(x^2-x+3),4x,(x^2-3)(x^2-3)^4 =(x^2-3),P(x)(x^2-3)^4,
onde
P(x)=-12x^3+18x^2-108x+18
Zero de x^2-3 coincide com assíntotas, não inflexão. Inflectam-se as raízes reais de P(x)=0, que são três números reais (um aproximado em (0,1) e dois em (1,4) e (-4,0)). Entre as raízes de P a concavidade troca de sinal. Em cada intervalo de monotonia já sabemos do passo 3.
O esboço final de f1 mostra uma curva crescente, com descontinuidades em x=pmraiz3, passando por (0,0), (6,0), aproxima-se de y=1 em pminfty, e muda de curvatura nos pontos de inflexão encontrados numericamente.

Passo 5

Análise de f2(x)=e^x1-e^x:
– Domínio: 1-e^xneq0implies e^xneq1implies xneq0.
– Interceptos:
  • Eixo x: e^x=0 nunca, logo sem zeros.
  • Eixo y: em x=0 não está no domínio.
    – Assíntotas verticais: em x=0.
    – Assíntotas horizontais:
limxto+inftyf2(x)=limxto+inftye^x-e^x(1-e^-x)=-1, limxto-inftyf2(x)=0

Passo 6

Monotonicidade e extremos de f2:
f2'(x) =e^x(1-e^x)-e^x(-e^x)(1-e^x)^2 =e^x(1-e^x)^2>0forall xneq0
É crescente em (-infty,0) e (0,infty), sem extremos locais.

Passo 7

Concavidade e inflexão de f2:
f2''(x) =e^x(1-e^x)^2 - e^xcdot2(1-e^x)(-e^x)(1-e^x)^4 =e^x(1+e^x)(1-e^x)^3
O sinal de f2'' muda em x=0 (assíntota) e onde 1+e^x=0 (impossível). Assim não há ponto de inflexão real, a concavidade é uniforme em cada ramo. O gráfico parte de 0 para -1, sofre descontinuidade em 0, e cresce de -infty para 0.

Passo 8

Análise de f3(x)=raizx^2+3:
– Domínio: x^2+3>=0 sempre, logo Dom(f3)=R.
– Interceptos:
  • Eixo x: raizx^2+3=0 sem solução real.
  • Eixo y: em x=0, f3(0)=raiz3.
    – Assíntotas: nenhuma (cresce como |x|).

Passo 9

Monotonicidade e extremos de f3:
f3'(x)=xraizx^2+3
Temos f3'(x)<0 em x<0 e f3'(x)>0 em x>0. Logo decrescente em (-infty,0), crescente em (0,infty), com mínimo local (e global) em x=0, valor f3(0)=raiz3.

Passo 10

Concavidade e inflexão de f3:
f3''(x) =raizx^2+3-x^2raizx^2+3x^2+3 =3(x^2+3)^3/2>0forall x
Logo estritamente côncava para cima em toda reta, sem inflexão. O gráfico é a curva de “raiz de soma de quadrados”, mínima em (0,raiz3).

Passo 11

Análise de f4(x)=2x^3-tfrac2x^53:
– Domínio: todo R.
– Interceptos:
  • Eixo x: 2x^3-tfrac2x^53=0implies x^3(1-tfracx^23)=0implies x=0,pmraiz3.
  • Eixo y: f4(0)=0.

Passo 12

Monotonicidade e extremos de f4:
f4'(x)=6x^2- 10x^43 =6x^2(3 -5x^2)3 =2x^2(3-5x^2)
Zera em x=0,pmraiztfrac35. Sinal:
  • f4'>0 em ;|x|<raiztfrac35 e xneq0.
  • f4'<0 em |x|>raiztfrac35.
    Logo: mínimo em x=-raiz3/5, máximo em x=+raiz3/5.

Passo 13

Concavidade e inflexão de f4:
f4''(x)=12x- 40x^33 =12x(3-10x^2)3 =4x(3-10x^2)
Zera em x=0,pmraiz3/10. O sinal troca em cada raiz, gerando três pontos de inflexão em x=0,pmraiz0,3. Para xin(-raiz0,3,0)cup(raiz0,3,infty) a curvatura é para cima ou para baixo conforme o sinal de f4''. O esboço mostra um “S” polinomial de grau 5 com esses extremos e inflexões.

Resposta

Os dados principais de cada função são:
f₁(x)=(x²–6x)/(x²–3)
• Domínio x≠±√3; zeros em x=0,6; assíntotas verticais x=±√3 e horizontal y=1; crescente sem extremos; inflexões nas raízes de –12x³+18x²–108x+18=0.
f₂(x)=eˣ/(1–eˣ)
• Domínio x≠0; sem zeros; assíntota vertical x=0; horizontais y→0 (x→–∞) e y=–1 (x→+∞); crescente sem extremos; curvatura sem inflexão.
f₃(x)=√(x²+3)
• Domínio ℝ; sem zeros; y-intercept √3; nenhuma assíntota; decrescente em (–∞,0), crescente em (0,∞) com mínimo em (0,√3); estritamente côncavo para cima sem inflexão.
f₄(x)=2x³–(2/3)x⁵
• Domínio ℝ; zeros x=0,±√3; sem assíntotas; cresce em (–√3/5,√3/5), decresce fora; mínimo em x=–√(3/5), máximo em x=+√(3/5); pontos de inflexão em x=0,±√(3/10).

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