Para as funções abaixo
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faça o que se pede
(a) Determine o domínio.
(b) Encontre os valores que interceptam os eixos
e
.
(c) Encontre as assíntotas verticais e horizontais.
(d) Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
(e) Encontre os valores máximos e mínimos locais.
(f) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(g) Use a informação das partes (a)-(d) para esboçar o gráfico de
.
faça o que se pede
(a) Determine o domínio.
(b) Encontre os valores que interceptam os eixos
(c) Encontre as assíntotas verticais e horizontais.
(d) Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
(e) Encontre os valores máximos e mínimos locais.
(f) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(g) Use a informação das partes (a)-(d) para esboçar o gráfico de
Passo 1
O enunciado pede uma análise completa de quatro funções elementares: domínio, interceptos, assíntotas, monotonicidade e extremos locais, concavidade e pontos de inflexão, além de esboço de gráfico. Para isso vamos usar conceitos de álgebra de funções (domínio, zeros, assíntotas), derivadas primeira e segunda (crescimento, extremos e curvatura) e limites no infinito.
Passo 2
Análise de
:
– Domínio: impedir divisão por zero em , logo
– Domínio: impedir divisão por zero em
– Interceptos:
- Eixo
: . Como , temos pontos e . - Eixo
: em , , reconfirmando .
– Assíntotas verticais: em.
– Assíntota horizontal:
logo reta
.
Passo 3
Monotonicidade e extremos de
:
Calculemos
Calculemos
O discriminante de
é
, logo
para todo
. E
no domínio. Assim
isto é,
é estritamente crescente em cada intervalo de domínio e não possui máximos nem mínimos locais.
Passo 4
Concavidade e inflexão de
:
Derivando de novo obtemos
Derivando de novo obtemos
onde
Zero de
coincide com assíntotas, não inflexão. Inflectam-se as raízes reais de
, que são três números reais (um aproximado em
e dois em
e
). Entre as raízes de
a concavidade troca de sinal. Em cada intervalo de monotonia já sabemos do passo 3.
O esboço final de
mostra uma curva crescente, com descontinuidades em
, passando por
,
, aproxima-se de
em
, e muda de curvatura nos pontos de inflexão encontrados numericamente.
Passo 5
Análise de
:
– Domínio: .
– Interceptos:
– Domínio:
– Interceptos:
- Eixo
: nunca, logo sem zeros. - Eixo
: em não está no domínio.
– Assíntotas verticais: em.
– Assíntotas horizontais:
Passo 6
Monotonicidade e extremos de
:
É crescente em
e
, sem extremos locais.
Passo 7
Concavidade e inflexão de
:
O sinal de
muda em
(assíntota) e onde
(impossível). Assim não há ponto de inflexão real, a concavidade é uniforme em cada ramo. O gráfico parte de
para
, sofre descontinuidade em
, e cresce de
para
.
Passo 8
Análise de
:
– Domínio: sempre, logo
.
– Interceptos:
– Domínio:
– Interceptos:
- Eixo
: sem solução real. - Eixo
: em , .
– Assíntotas: nenhuma (cresce como).
Passo 9
Monotonicidade e extremos de
:
Temos
em
e
em
. Logo decrescente em
, crescente em
, com mínimo local (e global) em
, valor
.
Passo 10
Concavidade e inflexão de
:
Logo estritamente côncava para cima em toda reta, sem inflexão. O gráfico é a curva de “raiz de soma de quadrados”, mínima em
.
Passo 11
Análise de
:
– Domínio: todo .
– Interceptos:
– Domínio: todo
– Interceptos:
- Eixo
: . - Eixo
: .
Passo 12
Monotonicidade e extremos de
:
Zera em
. Sinal:
-
em e . -
em .
Logo: mínimo em, máximo em .
Passo 13
Concavidade e inflexão de
:
Zera em
. O sinal troca em cada raiz, gerando três pontos de inflexão em
. Para
a curvatura é para cima ou para baixo conforme o sinal de
. O esboço mostra um “S” polinomial de grau 5 com esses extremos e inflexões.
Resposta
Os dados principais de cada função são:
f₁(x)=(x²–6x)/(x²–3)
• Domínio x≠±√3; zeros em x=0,6; assíntotas verticais x=±√3 e horizontal y=1; crescente sem extremos; inflexões nas raízes de –12x³+18x²–108x+18=0.
• Domínio x≠±√3; zeros em x=0,6; assíntotas verticais x=±√3 e horizontal y=1; crescente sem extremos; inflexões nas raízes de –12x³+18x²–108x+18=0.
f₂(x)=eˣ/(1–eˣ)
• Domínio x≠0; sem zeros; assíntota vertical x=0; horizontais y→0 (x→–∞) e y=–1 (x→+∞); crescente sem extremos; curvatura sem inflexão.
• Domínio x≠0; sem zeros; assíntota vertical x=0; horizontais y→0 (x→–∞) e y=–1 (x→+∞); crescente sem extremos; curvatura sem inflexão.
f₃(x)=√(x²+3)
• Domínio ℝ; sem zeros; y-intercept √3; nenhuma assíntota; decrescente em (–∞,0), crescente em (0,∞) com mínimo em (0,√3); estritamente côncavo para cima sem inflexão.
• Domínio ℝ; sem zeros; y-intercept √3; nenhuma assíntota; decrescente em (–∞,0), crescente em (0,∞) com mínimo em (0,√3); estritamente côncavo para cima sem inflexão.
f₄(x)=2x³–(2/3)x⁵
• Domínio ℝ; zeros x=0,±√3; sem assíntotas; cresce em (–√3/5,√3/5), decresce fora; mínimo em x=–√(3/5), máximo em x=+√(3/5); pontos de inflexão em x=0,±√(3/10).
• Domínio ℝ; zeros x=0,±√3; sem assíntotas; cresce em (–√3/5,√3/5), decresce fora; mínimo em x=–√(3/5), máximo em x=+√(3/5); pontos de inflexão em x=0,±√(3/10).