Encontre a soma das séries abaixo
sumn=1^+infty(-1)^n(57)^n

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
sumn=1^infty(-1)^nl(57r)^n
Isso é uma série geométrica infinita cujo termo genérico pode ser escrito como r^n.

Passo 2

Note que
(-1)^nl(57r)^n = l(-57r)^n,
portanto a razão da série é
r = -57,
e o primeiro termo é
a1 = r^1 = -57

Passo 3

Verificamos a convergência da série geométrica pelo critério lvert rrvert<1. Aqui
l|-tfrac57r| = 57 < 1,
logo a série converge.

Passo 4

Para lvert rrvert<1 vale a fórmula
sumn=1^inftyr^n = r1 - r
Substituindo r = -tfrac57, temos
sumn=1^inftyl(-57r)^n = -tfrac571 - l(-tfrac57r) = -tfrac571 + tfrac57 = -tfrac57tfrac127 = -512

Resposta

-tfrac512

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