Nas funções abaixo, verifique onde as mesmas são contínuas.
(b) f(x, y)=\frac{x y}{x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos de continuidade da função
f(x,y)=\frac{xy}{x^{2}-y^{2}}.
O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis, e vamos usar que polinômios são contínuos em todo lugar e quocientes de polinômios são contínuos onde o denominador é não nulo.

Passo 2

Para achar o domínio de definição de f, imponho que o denominador não seja zero:
x^{2}-y^{2}\neq 0
ou seja,
(x-y)(x+y)\neq 0
Logo, x\neq y e x\neq -y.
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}-y^{2}\neq 0\}.

Passo 3

Como f(x,y) é o quociente do polinômio xy pelo polinômio x^{2}-y^{2}, ela é contínua em todo ponto de seu domínio de definição.

Resposta

A função f(x,y)=\dfrac{xy}{x^{2}-y^{2}} é contínua em
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}-y^{2}\neq 0\},
isto é, em todos os pontos de \mathbb{R}^{2} tais que x\neq y e x\neq -y.

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