Verifique se os limites abaixo existem. Caso sim, use a definição por \epsilon e \delta, para mostrar cada limite existente. Em cada caso abaixo, vamos ter que verificar que
\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\\delta \Rightarrow|f(x, y)-f(0,0)|<\epsilon
Isto é, temos satisfeita a definição de função contínua. Quando achar o \delta
(e) f(x, y, z)=x+y+z, \epsilon=0,02

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\bigl(x+y+z\bigr)=0
usando a definição de limite, ou seja, para dado \epsilon=0,02 encontrar \delta>0 tal que
\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}<\delta \quad\Longrightarrow\quad \bigl|x+y+z-0\bigr|<\epsilon.

Passo 2

Usamos a desigualdade triangular e o fato de que em \mathbb R^{3} vale
|x|\le\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \quad |y|\le\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \quad |z|\le\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Então
|x+y+z|\le|x|+|y|+|z| \le3\,\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Logo, se \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}<\delta então
|x+y+z|<3\,\delta.

Passo 3

Para garantir |x+y+z|<\epsilon basta escolher \delta tal que
3\,\delta\le\epsilon,
i.e.
\delta=\frac{\epsilon}{3}.
Substituindo \epsilon=0,02 obtemos
\delta=\frac{0,02}{3}\approx0,0067.
Dessa forma, sempre que \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}<\delta
segue |x+y+z|<\epsilon, provando a existência do limite.

Resposta

O limite existe e é
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}(x+y+z)=0.
Basta tomar \delta=\epsilon/3; para \epsilon=0,02, \delta=0,02/3\approx0,0067.

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