Verifique se os limites abaixo existem. Caso sim, use a definição por \epsilon e \delta, para mostrar cada limite existente. Em cada caso abaixo, vamos ter que verificar que
\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\\delta \Rightarrow|f(x, y)-f(0,0)|<\epsilon
Isto é, temos satisfeita a definição de função contínua. Quando achar o \delta
(d) f(x, y)=\frac{x+y}{2+\cos x}, \epsilon=0,02

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) \quad\text{existe}
para
f(x,y)=\frac{x+y}{2+\cos x}
e, se sim, usar a definição \varepsilon \delta com \varepsilon=0,02.
O conteúdo aqui é mostrar que f é contínua em (0,0) e, portanto, o limite é f(0,0).

Passo 2

Como 2+\cos x é contínua e não se anula em torno de x=0, podemos avaliar diretamente
f(0,0)=\frac{0+0}{2+\cos0}=\frac{0}{2+1}=0.
Logo, o candidato a limite é L=0 e precisamos provar que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta \quad\Longrightarrow\quad \bigl|f(x,y)-0\bigr|<\varepsilon.

Passo 3

Vamos obter uma desigualdade que ligue \bigl|f(x,y)\bigr| a \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Primeiro note que
2+\cos x\ge 2+(-1)=1,
pois \cos x\ge -1. Assim
\bigl|f(x,y)\bigr| =\left|\frac{x+y}{2+\cos x}\right| \le |x+y| \le |x|+|y|.
Mas pela desigualdade de Cauchy–Schwarz temos
|x|+|y|\le \sqrt{2}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Portanto
\bigl|f(x,y)\bigr|\le \sqrt{2}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Queremos \bigl|f(x,y)\bigr|<\varepsilon. Basta então exigir
\sqrt{2}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}.
Logo, para dado \varepsilon=0,02 podemos escolher
\delta=\frac{0,02}{\sqrt{2}}.
Com isso, sempre que \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta teremos
\bigl|f(x,y)-0\bigr|<\varepsilon.

Resposta

O limite existe e vale
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x+y}{2+\cos x}=0.
Para \varepsilon=0,02, basta tomar
\delta=\frac{0,02}{\sqrt{2}}.

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