Verifique se os limites abaixo existem. Caso sim, use a definição por \epsilon e \delta, para mostrar cada limite existente. Em cada caso abaixo, vamos ter que verificar que
Isto é, temos satisfeita a definição de função contínua. Quando achar o \delta
(d) f(x, y)=\frac{x+y}{2+\cos x}, \epsilon=0,02
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) \quad\text{existe}
para
f(x,y)=\frac{x+y}{2+\cos x}
e, se sim, usar a definição \varepsilon–\delta com \varepsilon=0,02.
O conteúdo aqui é mostrar que f é contínua em (0,0) e, portanto, o limite é f(0,0).
Passo 2
Como 2+\cos x é contínua e não se anula em torno de x=0, podemos avaliar diretamente
f(0,0)=\frac{0+0}{2+\cos0}=\frac{0}{2+1}=0.
Logo, o candidato a limite é L=0 e precisamos provar que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que