Nas funções abaixo, verifique onde as mesmas são contínuas.
(d) f(x, y)=\sqrt{25-x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\sqrt{25 - x^{2} - y^{2}}
e pede para verificar onde ela é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis, usando domínio de definição e composição de funções contínuas.

Passo 2

Primeiro determinamos o domínio de f. Como a raiz quadrada exige argumento não negativo, temos
25 - x^{2} - y^{2} \ge 0
isto é
x^{2} + y^{2} \le 25.
Logo
D = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x^{2} + y^{2} \le 25\}
é o domínio de f.

Passo 3

Note que a função
h(x,y) = 25 - x^{2} - y^{2}
é um polinômio em (x,y) e, portanto, contínua em toda \mathbb{R}^2.
A função
g(t) = \sqrt{t}
é contínua em [0,\infty).

Passo 4

Como f = g \circ h, a composição de funções contínuas é contínua em cada ponto em que está bem definida. Em todo (x,y)\in D temos h(x,y)\ge0, logo f é contínua em todo ponto de D.

Resposta

A função f(x,y)=\sqrt{25-x^{2}-y^{2}} é contínua em
\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x^{2} + y^{2} \le 25\}.

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