Se
as funções
são denominadas cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, respectivamente. Demostre as seguintes identidades trigonométricas hiperbólicas:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e definimos duas novas funções chamadas cosseno hiperbólico (
) e seno hiperbólico (). A matéria envolvida aqui é a trigonometria hiperbólica, que é semelhante à trigonometria comum, mas usa funções exponenciais. Para resolver as identidades, vamos precisar das definições de
e e das propriedades das potências de números.
Passo 2
Vamos relembrar as definições das funções hiperbólicas fornecidas:
Essas funções combinam
e
de maneiras específicas.
Passo 3
Agora, vamos calcular
:
Expandindo o quadrado:
Portanto:
Passo 4
Vamos calcular :
Expandindo o quadrado:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos subtrair de
:
Simplificando a expressão:
Passo 6
Já provamos a primeira identidade:
Agora, vamos provar a segunda identidade:
. Primeiro, precisamos lembrar que a tangente hiperbólica (
) é definida como:
Passo 7
Calculando
:
Já sabemos que:
Portanto:
Passo 8
Agora, vamos calcular
:
Observando que:
Portanto:
Isso mostra que:
Parece que houve um pequeno erro na identidade proposta. A identidade correta é:
Onde .
Resposta
Assim, demonstramos que: