Obtenha equações cartesianas para as curvas.
x=a(2 cos t-cos 2 t), y=a(2 sen t-sen 2 t) ( cardióide )

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização da cardióide
x=al(2cos t-cos2tr), y=al(2sin t-sin2tr),
e pede a equação cartesiana, isto é, eliminar o parâmetro t e obter uma relação em x e y apenas.

Passo 2

Reescrevemos a curva como uma cardioide polar deslocada. Defina
X = x - a, y = y, r = raizX^2 + y^2, theta = t
Mostra– se (usando as identidades cos2t=2cos^2t-1 e sin2t=2sin tcos t) que os pontos (X,y) satisfazem
X = 2acostheta - acos2theta, y = 2asintheta - asin2theta,
o que é exatamente a cardioide em coordenadas polares
r = 2al(1-costhetar)

Passo 3

Agora basta passar de polares para cartesianas na curva padrão
r = 2al(1-costhetar),
onde
r = raizX^2 + y^2, costheta = Xr
Então
raizX^2+y^2 = 2al(1 - XraizX^2+y^2r)
Multiplicando por raizX^2+y^2 e arrumando, chega– se \u00e0 forma cl\u00e1ssica em polin\u00f3mio de quarto grau:
l(r^2 - 2a,Xr)^2 = 4a^2,r^2

Passo 4

Volte às coordenadas originais, X = x - a e r^2 = X^2 + y^2 = (x - a)^2 + y^2. A equação cartesiana final da cardióide é
boxed l((x - a)^2 + y^2 - 2a,(x - a)r)^2 ;=; 4,a^2l((x - a)^2 + y^2r)

Resposta

l((x - a)^2 + y^2 - 2a,(x - a)r)^2 = 4,a^2l((x - a)^2 + y^2r)

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