Resolva:
Calcule \lim _{z \rightarrow 0} \frac{e^{z}-1}{z}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite:
\lim_{z \to 0} \frac{e^{z}-1}{z}.
Informações dadas:
  • A expressão a limitar é \dfrac{e^{z}-1}{z}.
  • A variável z tende a 0.
  • Não há restrição explícita sobre z (pode ser z\in\mathbb{R} ou z\in\mathbb{C}); a resposta será a mesma em ambos os casos.

Passo 2

Vamos usar a série de potências da função exponencial, que é uma ferramenta poderosa e muito prática para esse tipo de limite. A série de Taylor (ou série de Maclaurin) da função exponencial é válida para todo z e é:
e^{z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} = 1 + z + \frac{z^{2}}{2!} + \frac{z^{3}}{3!} + \cdots.
Explicando passo a passo essa fórmula (rapidinho, do jeito prático):
  • A série acima significa que, para qualquer z, a soma infinita converge e representa exatamente e^{z}.
  • Cada termo é \dfrac{z^{n}}{n!}, onde n! é o fatorial de n.
  • Isso é uma expansão centrada em 0 (Maclaurin).
Agora substituo essa série na expressão do limite. Primeiro faço e^{z}-1:
e^{z}-1 = \left(1 + z + \frac{z^{2}}{2!} + \frac{z^{3}}{3!} + \cdots\right) - 1 = z + \frac{z^{2}}{2!} + \frac{z^{3}}{3!} + \cdots.
Dividindo por z (para z\neq 0):
\frac{e^{z}-1}{z} = 1 + \frac{z}{2!} + \frac{z^{2}}{3!} + \cdots.
Cada termo após o 1 tem um fator z (ou potência maior). Quando z \to 0, todos esses termos com z nas potências vão para 0. Logo a soma inteira tende para 1. Em linguagem matemática:
\lim_{z\to 0}\frac{e^{z}-1}{z} = 1 + 0 + 0 + \cdots = 1.
Esse raciocínio é rigoroso porque a série converge uniformemente em qualquer pequena vizinhança de 0, então pode-se passar ao limite termo a termo. Mas a ideia prática é: a expansão mostra claramente que o termo dominante é 1.

Passo 3

Para fixar a ideia, há outra visão muito usada em provas rápidas: esse limite é justamente a definição da derivada de e^{z} em 0. A definição de derivada é
f'(0)=\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-f(0)}{z-0}.
Se f(z)=e^{z}, então f(0)=e^{0}=1 e o limite do enunciado é f'(0). Sabendo (ou provando, por série) que a derivada de e^{z} é e^{z} para todo z, obtemos f'(0)=e^{0}=1. Isso dá o mesmo resultado de forma curta.

Resposta

1

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