Resolva:
Calcule
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite:
Informações dadas:
- A expressão a limitar é
. - A variável
tende a . - Não há restrição explícita sobre
(pode ser ou ); a resposta será a mesma em ambos os casos.
Passo 2
Vamos usar a série de potências da função exponencial, que é uma ferramenta poderosa e muito prática para esse tipo de limite. A série de Taylor (ou série de Maclaurin) da função exponencial é válida para todo
e é:
Explicando passo a passo essa fórmula (rapidinho, do jeito prático):
- A série acima significa que, para qualquer
, a soma infinita converge e representa exatamente . - Cada termo é
, onde é o fatorial de . - Isso é uma expansão centrada em
(Maclaurin).
Agora substituo essa série na expressão do limite. Primeiro faço
:
Dividindo por
(para
):
Cada termo após o
tem um fator
(ou potência maior). Quando
, todos esses termos com
nas potências vão para
. Logo a soma inteira tende para
. Em linguagem matemática:
Esse raciocínio é rigoroso porque a série converge uniformemente em qualquer pequena vizinhança de
, então pode-se passar ao limite termo a termo. Mas a ideia prática é: a expansão mostra claramente que o termo dominante é
.
Passo 3
Para fixar a ideia, há outra visão muito usada em provas rápidas: esse limite é justamente a definição da derivada de
em
. A definição de derivada é
Se
, então
e o limite do enunciado é
. Sabendo (ou provando, por série) que a derivada de
é
para todo
, obtemos
. Isso dá o mesmo resultado de forma curta.
Resposta
1