Taxa de Variação nas Vendas de DVD - A venda anual (em milhares de dólares por ano) do DVD de um filme de sucesso t anos após o lançamento é dada por S(t)=5 tt^2+1.
Com que rapidez as vendas anuais do DVD variam no momento em que o DVD é lançado (t=0) ? E dois anos depois da data do lançamento)?

Passo 1

O enunciado dá a função de vendas anuais do DVD em milhares de dólares por ano como S(t)=5tt^2+1 e pede a taxa instantânea de variação de S em t=0 e em t=2. O conteúdo é derivada de quociente e precisaremos usar a regra do quociente para encontrar S'(t).

Passo 2

Para interpretar a taxa de variação instantânea, lembramos que a derivada S'(t) nos dá a velocidade de crescimento ou decrescimento das vendas no instante t. Vamos aplicar a regra do quociente: se S(t)=u(t)/v(t), então S'(t)=(u'v-uv')/v^2. Identificamos u(t)=5t e v(t)=t^2+1. Calculamos as derivadas: u'(t)=5 e v'(t)=2t. Aplicando a regra do quociente:
S'(t)=5,(t^2+1)-5tcdot 2t(t^2+1)^2 =5t^2+5-10t^2(t^2+1)^2 =5-5t^2(t^2+1)^2

Passo 3

Agora avaliamos em t=0:
S'(0)=5-5cdot 0^2(0^2+1)^2=51=5

Passo 4

Isso significa que no lançamento as vendas estão aumentando a 5 milhares de dólares por ano por ano. Em seguida, avaliamos em t=2:
S'(2)=5-5cdot 2^2(2^2+1)^2=5-2025=-1525=-0.6

Passo 5

Ou seja, dois anos após o lançamento as vendas estão diminuindo a 0.6 milhares de dólares por ano por ano.

Resposta

A rapidez da variação das vendas é:
• Em t=0: S'(0)=5 milhares de dólares por ano por ano (aumento).
• Em t=2: S'(2)=-0.6 milhares de dólares por ano por ano (decréscimo).

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