Taxa de Variação nas Vendas de DVD - A venda anual (em milhares de dólares por ano) do DVD de um filme de sucesso t anos após o lançamento é dada por S(t)=5 tt^2+1.
Determine a taxa de variação das vendas anuais no instante t .

Passo 1

O exercício dá a função S(t)=5tt^2+1 que representa as vendas anuais em milhares de dólares, e pede para achar a taxa de variação dessas vendas no instante t. O conteúdo aqui é cálculo de derivada de função racional, então vamos usar a regra do quociente.

Passo 2

Para aplicar a regra do quociente, identificamos u(t)=5t e v(t)=t^2+1. Suas derivadas são u'(t)=5 e v'(t)=2t. A regra do quociente diz que
S'(t)=u'(t),v(t)-u(t),v'(t)[v(t)]^2

Passo 3

Substituindo u, u', v e v' temos:
S'(t)=5,(t^2+1)-5tcdot(2t)(t^2+1)^2 = 5t^2+5-10t^2(t^2+1)^2 = 5-5t^2(t^2+1)^2

Passo 4

Por fim, fatoramos 5 no numerador e chegamos à forma mais simples:
S'(t)=5(1-t^2)(t^2+1)^2

Resposta

S'(t)=5(1-t^2)(t^2+1)^2

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