Considere a região definida pelo triângulo de vértices e e considere a transformação , que leva pontos do plano uv para o plano .
(a) Verifique que , onde é a região formada pelo triângulo de vértices , e .
(b) Utilize o Teorema da Mudança de Variáveis (Jacobiano) para calcular .
Passo 1
O enunciado define a região como o triângulo de vértices , e . Introduz a transformação afim
e a região como o triângulo de vértices , e .
Parte (a): mostrar que .
Parte (b): usar o Teorema da Mudança de Variáveis para calcular
Passo 2
Para verificar que , basta ver onde envia os vértices de :
Como é afim e envia vértices de exatamente nos vértices de , ele leva todo o triângulo no triângulo . Logo .
Passo 3
Pelo Teorema da Mudança de Variáveis,
Primeiro calculemos o integrando em termos de (u,v):