Considere a região R subset R^2 definida pelo triângulo de vértices (1,2),(2,5) e (3,6) e considere a transformação T(u, v)=(u+2 v+1,3 u+4 v+2), que leva pontos do plano uv para o plano x y.
(a) Verifique que T(S)=R, onde S subset R^2 é a região formada pelo triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,1).
(b) Utilize o Teorema da Mudança de Variáveis (Jacobiano) para calcular integral duplaR(y-2 x) d A.

Passo 1

O enunciado define a região RsubsetR^2 como o triângulo de vértices (1,2), (2,5) e (3,6). Introduz a transformação afim
T(u,v) = (x,y) = (,u + 2v + 1,;3u + 4v + 2,)
e a região SsubsetR^2 como o triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,1).
Parte (a): mostrar que T(S)=R.
Parte (b): usar o Teorema da Mudança de Variáveis para calcular
integral duplaR(y-2x),dA

Passo 2

Para verificar que T(S)=R, basta ver onde T envia os vértices de S:
T(0,0) = (,0+0+1,;0+0+2,) = (1,2),
T(1,0) = (,1+0+1,;3+0+2,) = (2,5),
T(0,1) = (,0+2+1,;0+4+2,) = (3,6)
Como T é afim e envia vértices de S exatamente nos vértices de R, ele leva todo o triângulo S no triângulo R. Logo T(S)=R.

Passo 3

Pelo Teorema da Mudança de Variáveis,
integral duplaR(y-2x),dA = integral duplaS l(y-2xr)l|(x,y)=T(u,v);l|det D T(u,v)r|,du,dv
Primeiro calculemos o integrando em termos de (u,v):
y-2x = l(3u+4v+2r) - 2l(u+2v+1r) =3u+4v+2 -2u -4v -2 = u
Agora o jacobiano de T:
D T = xu & xv [6pt] yu & yv = 1 & 2 [4pt] 3 & 4 , det D T = 1cdot4 - 2cdot3 = -2,
portanto l|det D Tr|=2.]

Passo 4

A região S é o triângulo (u,v)mid u>=0,;v>=0,;u+v<=1. Assim
integral duplaR(y-2x),dA = integral duplaS u;l|det D Tr|,du,dv = 2 integralv=0^1integralu=0^1-v u ,du,dv
Calculemos:
integralu=0^1-v u,du =(1-v)^22, integralv=0^1(1-v)^22,dv =12integral0^1(1-2v+v^2),dv =12l[1 -1 +tfrac13r] =16
Multiplicando por 2 vem
integral duplaR(y-2x),dA = 2cdot16 = 13

Resposta

13

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